Страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Қандай жағдайда фигуралардың ауданын және көлемін есептеу тек қана анықталған интеграл арқылы жүргізіледі?

Есептеулер тек қана анықталған интеграл арқылы жүргізілетін жағдайлар, әдетте, қарапайым геометриялық формулалар қолданылмайтын күрделі пішінді фигуралармен байланысты. Бұл жағдайларға мыналар жатады:

Ауданды есептеу:

Анықталған интеграл фигураның шекарасы түзу сызықтармен емес, қисық сызықтармен берілгенде қолданылады. Мұндай фигураны қисықсызықты трапеция деп атайды. Егер, мысалы, фигура жоғарыдан үздіксіз $y=f(x)$ функциясының графигімен ($f(x) \ge 0$), төменнен $Ox$ осімен, ал бүйірлерінен $x=a$ және $x=b$ түзулерімен шектелсе, оның ауданын элементар формулалармен табу мүмкін емес (егер $f(x)$ тұрақты немесе сызықтық функция болмаса). Бұл жағдайда аудан тек интеграл арқылы есептеледі:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Сол сияқты, екі қисықпен, $y=f_1(x)$ және $y=f_2(x)$, шектелген фигураның ауданы да интеграл арқылы табылады.

Көлемді есептеу:

Дененің көлемін есептеу үшін интеграл қажет болады, егер дене қарапайым көпжақ (мысалы, призма, параллелепипед) немесе айналу денесі (цилиндр, шар) болмаса. Интеграл келесі жағдайларда жалғыз әдіс болып табылады:

1.Айналу денелері: Егер дене $y=f(x)$ қисығын $Ox$ осінің айналасында айналдыру арқылы алынса, оның көлемі келесі формуламен анықталады:

$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$

Егер $f(x)$ сызықтық функция болмаса (конус немесе қиық конус жағдайындағыдай), бұл көлемді басқа жолмен есептеу қиын.

2.Көлденең қимасының ауданы белгілі денелер: Егер дененің $Ox$ осіне перпендикуляр қимасының ауданы $x$ координатасына байланысты $S(x)$ функциясы ретінде белгілі болса, дененің көлемі осы функцияны интегралдау арқылы табылады:

$V = \int_{a}^{b} S(x)dx$

Бұл әдіс күрделі пішінді денелердің көлемін табуға мүмкіндік береді, мысалы, негіздері әртүрлі геометриялық фигуралар болып табылатын пирамидалар немесе басқа стандартты емес денелер.

Ответ: Фигуралардың ауданы мен көлемін есептеу тек анықталған интеграл арқылы жүргізіледі, егер фигураның шекаралары немесе дененің формасы қарапайым емес, қисық сызықтармен немесе айнымалы көлденең қимамен сипатталатын функциялармен берілсе, яғни элементар геометрия формулалары қолданылмайтын жағдайларда.

2. Түзудің кесінділерімен ғана емес қисық сызықтармен шектелген фигураның ауданын анықталған интегралды қолданып табу неліктен негізгі тәсілдердің бірі болып табылады?

Анықталған интегралды қолданып қисық сызықтармен шектелген фигураның ауданын табу негізгі тәсілдердің бірі болып саналады, өйткені ол аудан ұғымын интуитивті түсініктен қатаң математикалық анықтамаға дейін жеткізеді. Бұл әдістің негізінде фигураны шексіз көп, өте жіңішке бөліктерге бөліп, олардың аудандарының қосындысын табу идеясы жатыр.

Процесті былай сипаттауға болады:

1.Бөлу және жуықтау: $y=f(x)$ қисығымен, $Ox$ осімен және $x=a$, $x=b$ түзулерімен шектелген қисықсызықты трапеция қарастырылады. $[a, b]$ кесіндісі ені $\Delta x$ болатын көптеген кішкентай бөліктерге бөлінеді. Әрбір бөлікте биіктігі $f(x_i)$ ($x_i$ — бөліктегі кез келген нүкте) және табаны $\Delta x$ болатын тіктөртбұрыш құрастырылады. Оның ауданы $f(x_i)\Delta x$ болады.

2.Интегралдық қосынды: Барлық осындай тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысы қисықсызықты трапецияның ауданын жуықтап береді. Бұл қосынды Риманның интегралдық қосындысы деп аталады:

$S \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$

3.Шекке көшу: Тіктөртбұрыштардың санын ($n$) шексіздікке ұмтылдырғанда, олардың ені ($\Delta x$) нөлге ұмтылады. Бұл жағдайда қосындының шегі фигураның нақты ауданына тең болады. Бұл шек анықталған интегралдың анықтамасы болып табылады:

$S = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Бұл әдіс негізгі болып табылады, себебі:

• Әмбебаптылық: Ол кез келген үздіксіз функциямен шектелген фигураның ауданын табуға мүмкіндік береді.
• Дәлдік: Ол жуық шама емес, ауданның нақты мәнін береді.
• Қатаңдық: Ол аудан ұғымына қатаң математикалық негіздеме береді.

Элементар геометрия тек түзу сызықты фигуралармен жұмыс істей алады, ал интеграл қисық сызықты әлемнің "тілін" түсінуге мүмкіндік беретін қуатты құрал болып табылады.

Ответ: Анықталған интеграл қисық сызықты фигураны шексіз көп элементар тіктөртбұрыштардың қосындысы ретінде қарастыруға мүмкіндік беретін әмбебап және қатаң математикалық әдіс болғандықтан, оның ауданын табудың негізгі тәсілдерінің бірі болып табылады.

3. Кейбір көпжақтар мен айналу денелерінің (пирамида, қиық пирамида, конус, қиық конус) көлемін есептеу формулаларын дәлелдеуін анықталған интеграл арқылы беру неге тиімді болып саналады?

Пирамида, конус және олардың қиық түрлері сияқты денелердің көлемін есептеу формулаларын анықталған интеграл арқылы дәлелдеу бірнеше себептерге байланысты тиімді болып саналады:

1.Бірыңғай тәсіл: Интегралдық есептеу барлық осы денелер үшін ортақ және әмбебап әдісті ұсынады. Бұл әдіс көлденең қималар әдісіне негізделген. Кез келген дененің көлемін оның осіне перпендикуляр қималарының аудандарын интегралдау арқылы табуға болады. Жалпы формула:

$V = \int_{a}^{b} S(x)dx$

мұндағы $S(x)$ — $x$ нүктесіндегі көлденең қиманың ауданы.

2.Қатаңдық және көрнекілік: Бұл әдіс классикалық геометриядағы күрделі кеңістіктік құрылымдар мен шектерге негізделген дәлелдеулерден (мысалы, сарқылу әдісі) гөрі қатаң және түсінікті. Мысалы, биіктігі $H$ және табанының ауданы $S_{0}$ болатын пирамиданың (немесе конустың) көлемін дәлелдейік. Төбесін координаттар басында орналастырып, биіктігін $Ox$ осі бойымен бағыттайық. Төбеден $x$ қашықтықтағы көлденең қима табанға ұқсас фигура болады. Ұқсастық коэффициенті $k = x/H$. Аудандардың қатынасы ұқсастық коэффициентінің квадратына тең болғандықтан, қиманың ауданы:

$S(x) = S_{0} \cdot (\frac{x}{H})^2$

Енді көлемді табу үшін $S(x)$ функциясын 0-ден $H$-қа дейін интегралдаймыз:

$V = \int_{0}^{H} S(x)dx = \int_{0}^{H} S_{0} \frac{x^2}{H^2} dx = \frac{S_{0}}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx = \frac{S_{0}}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \frac{S_{0}}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3}S_{0}H$

Бұл формула пирамида үшін де, конус үшін де жарамды және оның шығарылуы өте қарапайым.

3.Жалпылау мүмкіндігі: Интегралдық тәсіл стандартты емес денелердің көлемін есептеу формулаларын оңай қорытып шығаруға мүмкіндік береді. Мысалы, қиық пирамида немесе қиық конус үшін интегралдау шектерін өзгерту жеткілікті.

Осылайша, интегралдық есептеу бұл формулаларды дәлелдеудің күрделілігін айтарлықтай азайтады және оларды математикалық анализдің жалпы контекстіне енгізеді.

Ответ: Интеграл арқылы дәлелдеу тиімді, себебі ол әртүрлі денелер үшін бірыңғай, қатаң, көрнекі және оңай жалпыланатын әдісті ұсынады, бұл классикалық геометриялық дәлелдеулерге қарағанда әлдеқайда қарапайым.

4. Қозғалыс есептерін шығару үшін анықталған интеграл қалай қолданылады?

Анықталған интеграл қозғалыс есептерін шығаруда, әсіресе қозғалыс бірқалыпты болмаған кезде, маңызды рөл атқарады. Оның негізгі қолданысы кинематиканың негізгі ұғымдары — орын ауыстыру, жылдамдық және үдеу арасындағы кері байланысты орнатуға негізделген.

Физикада жылдамдық $v(t)$ — орын ауыстырудың $s(t)$ уақыт бойынша туындысы ($v(t) = s'(t)$), ал үдеу $a(t)$ — жылдамдықтың $v(t)$ уақыт бойынша туындысы ($a(t) = v'(t)$) екені белгілі. Математикалық анализдің негізгі теоремасына (Ньютон-Лейбниц формуласы) сәйкес, интегралдау — дифференциалдауға кері амал.

Интегралдың қозғалыс есептерінде қолданылуы:

1.Орын ауыстыруды және жүрілген жолды табу:

Егер дененің жылдамдығы уақытқа байланысты $v(t)$ функциясы ретінде белгілі болса, онда $[t_1, t_2]$ уақыт аралығындағы оның орын ауыстыруы ($\Delta s$) жылдамдықты интегралдау арқылы табылады:

$\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt$

Геометриялық тұрғыдан бұл $v(t)$ графигінің астындағы ауданға тең. Егер дене бағытын өзгертпесе ($v(t) \ge 0$), онда орын ауыстыру жүрілген жолға тең болады. Егер жылдамдық таңбасын өзгертсе, жүрілген жолды табу үшін жылдамдықтың модулін интегралдау керек: $L = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|dt$.

2.Жылдамдықтың өзгеруін табу:

Егер дененің үдеуі уақытқа байланысты $a(t)$ функциясы ретінде белгілі болса, онда $[t_1, t_2]$ уақыт аралығындағы оның жылдамдығының өзгеруі ($\Delta v$) үдеуді интегралдау арқылы анықталады:

$\Delta v = v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t)dt$

Бұл формулалар жылдамдық немесе үдеу тұрақты болмаған жағдайда өте маңызды. Мысалы, егер дененің жылдамдығы $v(t) = 2t + 1$ м/с заңымен өзгерсе, $t=1$ с-тан $t=3$ с-қа дейінгі жүрілген жолды табу үшін жай ғана "жылдамдықты уақытқа көбейту" формуласын қолдануға болмайды, себебі жылдамдық үнемі өзгеріп отырады. Дұрыс шешім — интегралды қолдану:

$s = \int_{1}^{3} (2t+1)dt = \left[ t^2 + t \right]_{1}^{3} = (3^2+3) - (1^2+1) = (9+3) - (1+1) = 12 - 2 = 10$ м.

Ответ: Анықталған интеграл қозғалыс есептерінде уақыт бойынша белгілі жылдамдық функциясын интегралдау арқылы орын ауыстыруды (және жүрілген жолды) табу үшін және белгілі үдеу функциясын интегралдау арқылы жылдамдықтың өзгеруін есептеу үшін қолданылады. Бұл бірқалыпты емес қозғалысты сипаттаудың негізгі құралы болып табылады.

1) Даны линии: $y = 2x + 2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Фигура, ограниченная этими линиями, представляет собой трапецию, у которой одно из оснований лежит на оси Ох. В данном случае, так как линия $y=2x+2$ пересекает ось Ох, фигура является треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения линий $y = 2x + 2$ и $y = 0$: $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Вершина: $(-1, 0)$.
• Точка пересечения линий $x = 2$ и $y = 0$: Вершина: $(2, 0)$.
• Точка пересечения линий $y = 2x + 2$ и $x = 2$: $y = 2(2) + 2 = 6$. Вершина: $(2, 6)$.

Таким образом, вершины фигуры: $(-1, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 6)$. Это прямоугольный треугольник.

Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по $x$ от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^{2} (2x + 2) dx = [x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (2^2 + 2 \cdot 2) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (4+4) - (1-2) = 8 - (-1) = 9$.

Проверка: Фигура является прямоугольным треугольником с катетами $a = 2 - (-1) = 3$ и $b = 6 - 0 = 6$.

Площадь по геометрической формуле: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $9$.

2) Даны линии: $y = x + 2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Фигура, ограниченная этими линиями, также является прямоугольным треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения линий $y = x + 2$ и $y = 0$: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Вершина: $(-2, 0)$.
• Точка пересечения линий $x = 2$ и $y = 0$: Вершина: $(2, 0)$.
• Точка пересечения линий $y = x + 2$ и $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4$. Вершина: $(2, 4)$.

Вершины фигуры: $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 4)$.

Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по $x$ от $-2$ до $2$.

$S = \int_{-2}^{2} (x + 2) dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)\right) = \left(\frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) = (2+4) - (2-4) = 6 - (-2) = 8$.

Проверка: Фигура является прямоугольным треугольником с катетами $a = 2 - (-2) = 4$ и $b = 4 - 0 = 4$.

Площадь по геометрической формуле: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $8$.

1)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = (x - 2)(2x - 3)$ и $y = 0$, необходимо сначала найти точки пересечения этих линий. Точки пересечения являются пределами интегрирования.

Приравняем уравнения:
$(x - 2)(2x - 3) = 0$
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Таким образом, интегрирование будет производиться в пределах от $1.5$ до $2$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $y = (x - 2)(2x - 3) = 2x^2 - 7x + 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. На интервале $(1.5, 2)$ значения функции отрицательны (график находится под осью Ox), поэтому для вычисления площади мы должны взять интеграл от функции с противоположным знаком.

$S = \int_{1.5}^{2} -(2x^2 - 7x + 6) dx = \int_{1.5}^{2} (-2x^2 + 7x - 6) dx$

Найдем первообразную:
$F(x) = \int (-2x^2 + 7x - 6) dx = -2\frac{x^3}{3} + 7\frac{x^2}{2} - 6x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:
$S = \left( - \frac{2 \cdot 2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 6 \cdot 2 \right) - \left( - \frac{2 \cdot (1.5)^3}{3} + \frac{7 \cdot (1.5)^2}{2} - 6 \cdot 1.5 \right)$
$S = \left( - \frac{16}{3} + 14 - 12 \right) - \left( - \frac{2 \cdot (3/2)^3}{3} + \frac{7 \cdot (3/2)^2}{2} - 9 \right)$
$S = \left( - \frac{16}{3} + 2 \right) - \left( - \frac{2 \cdot 27/8}{3} + \frac{7 \cdot 9/4}{2} - 9 \right)$
$S = \left( - \frac{10}{3} \right) - \left( - \frac{9}{4} + \frac{63}{8} - \frac{72}{8} \right)$
$S = - \frac{10}{3} - \left( \frac{-18 + 63 - 72}{8} \right)$
$S = - \frac{10}{3} - \left( - \frac{27}{8} \right) = - \frac{10}{3} + \frac{27}{8} = \frac{-80 + 81}{24} = \frac{1}{24}$

График функции и заштрихованная область:

Ответ: $\frac{1}{24}$

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = (3x + 2)(x - 1)$ и $y = 0$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков.

Приравняем $y$ к нулю:
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
Корни уравнения: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3}$ и $x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$.
Интегрировать будем в пределах от $-\frac{2}{3}$ до $1$.

Функция $y = (3x + 2)(x - 1) = 3x^2 - x - 2$ является параболой с ветвями вверх. На интервале $(-\frac{2}{3}, 1)$ график функции лежит ниже оси Ox, поэтому $y < 0$. Для нахождения площади необходимо интегрировать $-y$.

$S = \int_{-2/3}^{1} -(3x^2 - x - 2) dx = \int_{-2/3}^{1} (-3x^2 + x + 2) dx$

Находим первообразную:
$F(x) = \int (-3x^2 + x + 2) dx = -x^3 + \frac{x^2}{2} + 2x$

Вычисляем определенный интеграл:
$S = \left( -1^3 + \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -(-\frac{2}{3})^3 + \frac{(-\frac{2}{3})^2}{2} + 2 \cdot (-\frac{2}{3}) \right)$
$S = \left( -1 + \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -(-\frac{8}{27}) + \frac{4/9}{2} - \frac{4}{3} \right)$
$S = \left( \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{8}{27} + \frac{2}{9} - \frac{4}{3} \right)$
$S = \frac{3}{2} - \left( \frac{8}{27} + \frac{6}{27} - \frac{36}{27} \right)$
$S = \frac{3}{2} - \left( \frac{14 - 36}{27} \right) = \frac{3}{2} - \left( - \frac{22}{27} \right)$
$S = \frac{3}{2} + \frac{22}{27} = \frac{3 \cdot 27 + 22 \cdot 2}{54} = \frac{81 + 44}{54} = \frac{125}{54}$

График функции и заштрихованная область:

Ответ: $\frac{125}{54}$

1) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 4$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=0$ (ось ординат). Функция $y = x^2 - 4x + 4$ может быть представлена как полный квадрат: $y = (x-2)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс.

Площадь искомой фигуры — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=(x-2)^2$, снизу — осью $Ox$, а по бокам — прямыми $x=0$ и $x=2$ (точка касания параболы с осью $Ox$). Поскольку функция $y=(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$, площадь вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right) = \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 6x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $y = (x+3)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-3, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(x+3)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и пределами интегрирования от точки касания $x=-3$ до $x=0$. Так как $y=(x+3)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} + 9x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + 3 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) \right)$

$S = 0 - \left( \frac{-27}{3} + 3 \cdot 9 - 27 \right) = -(-9 + 27 - 27) = -(-9) = 9$.

Ответ: $9$.

3) Фигура ограничена линиями $y = 4x^2 + 12x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = 4x^2 + 12x + 9$ является полным квадратом: $y = (2x+3)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-\frac{3}{2}, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(2x+3)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и пределами интегрирования от точки касания $x=-3/2$ до $x=0$. Так как $y=(2x+3)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-3/2}^{0} (4x^2 + 12x + 9) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} + 9x \right]_{-3/2}^{0} = \left[ \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x \right]_{-3/2}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (0) - \left( \frac{4}{3} \left(-\frac{3}{2}\right)^3 + 6 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 9 \left(-\frac{3}{2}\right) \right)$

$S = - \left( \frac{4}{3} \left(-\frac{27}{8}\right) + 6 \left(\frac{9}{4}\right) - \frac{27}{2} \right) = - \left( -\frac{9}{2} + \frac{27}{2} - \frac{27}{2} \right) = - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 9x^2 - 6x + 1$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = 9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом: $y = (3x-1)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(\frac{1}{3}, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(3x-1)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и прямыми $x=0$ и $x=1/3$. Так как $y=(3x-1)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{0}^{1/3} (9x^2 - 6x + 1) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{9x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + x \right]_{0}^{1/3} = \left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]_{0}^{1/3}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( 3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \right) - (0)$

$S = 3 \cdot \frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

1) f(x) = -x² + 4x - 4;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат, необходимо найти пределы интегрирования. Фигура ограничена графиком функции, осью Oy ($x=0$) и осью Ox ($y=0$).

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

1. Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 4(0) - 4 = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.

2. Пересечение с осью Ox (когда $f(x)=0$):
$-x^2 + 4x - 4 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$.

График функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(2, 0)$. Таким образом, на промежутке от $x=0$ до $x=2$ функция принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от модуля функции в пределах от 0 до 2:

$S = \int_0^2 |f(x)| \,dx = \int_0^2 -(-x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_0^2 = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_0^2$

$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4(0) \right)$

$S = \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

2) f(x) = -x² + 6x - 9.

Аналогично первому случаю, найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения графика с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения $(0, -9)$.

2. Пересечение с осью Ox (когда $f(x)=0$):
$-x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
$x = 3$.

График этой функции — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(3, 0)$. На промежутке от $x=0$ до $x=3$ функция принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от модуля функции в пределах от 0 до 3:

$S = \int_0^3 |f(x)| \,dx = \int_0^3 -(-x^2 + 6x - 9) \,dx = \int_0^3 (x^2 - 6x + 9) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 9x \right]_0^3 = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_0^3$

$S = \left( \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9(3) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9(0) \right)$

$S = \left( \frac{27}{3} - 3(9) + 27 \right) - 0 = (9 - 27 + 27) = 9$

Ответ: $9$

1) y = 2x², y = 4x;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = 2x^2$ и $y = 4x$, сначала найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем их уравнения:
$2x^2 = 4x$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций находится выше на интервале $[0, 2]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.
Для $y = 4x$: $y(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Для $y = 2x^2$: $y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
Так как $4 > 2$, на интервале $[0, 2]$ график прямой $y = 4x$ расположен выше графика параболы $y = 2x^2$.

Графики функций и искомая площадь выглядят следующим образом:

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Найдем первообразную:
$\int (4x - 2x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{2}{3}x^3$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 2^2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3) - (2 \cdot 0^2 - \frac{2}{3} \cdot 0^3)$
$S = (2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8) - 0 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$ кв. ед.

2) y = x², y = -2x;

Аналогично первому пункту, найдем точки пересечения кривых $y = x^2$ и $y = -2x$:
$x^2 = -2x$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Пределами интегрирования будут $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$.

Определим, какая функция больше на интервале $[-2, 0]$. Возьмем тестовую точку $x = -1$:
Для $y = -2x$: $y(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.
Для $y = x^2$: $y(-1) = (-1)^2 = 1$.
Так как $2 > 1$, на интервале $[-2, 0]$ график прямой $y = -2x$ находится выше графика параболы $y = x^2$.

Графики функций и искомая площадь выглядят следующим образом:

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней ($y=-2x$) и нижней ($y=x^2$) функций:
$S = \int_{-2}^{0} ((-2x) - x^2) dx = \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) dx$

Найдем первообразную:
$\int (-2x - x^2) dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = -x^2 - \frac{x^3}{3}$

Вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ -x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = (-0^2 - \frac{0^3}{3}) - (-(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})$
$S = 0 - (-4 - \frac{-8}{3}) = -(-4 + \frac{8}{3}) = -(-\frac{12}{3} + \frac{8}{3}) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ кв. ед.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = x+1$, $x=0$ и $x=2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций больше на отрезке $[0, 2]$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = (x+1) - \sin x$. Найдем ее производную: $h'(x) = 1 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 2]$.

Найдем значение $h(x)$ в начальной точке отрезка, $x=0$: $h(0) = (0+1) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Поскольку функция $h(x)$ неубывающая и $h(0)=1$, то $h(x) \ge 1$ для всех $x \ge 0$. Следовательно, на отрезке $[0, 2]$ выполняется неравенство $x+1 \ge \sin x$. Значит, график функции $y = x+1$ лежит выше графика $y = \sin x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданному отрезку:

$S = \int_{0}^{2} ((x+1) - \sin x) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x+1 - \sin x) \,dx = \left( \frac{x^2}{2} + x - (-\cos x) \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{x^2}{2} + x + \cos x \right) \Big|_0^2$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^2}{2} + 2 + \cos 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 + \cos 0 \right) = (2 + 2 + \cos 2) - (0 + 0 + 1) = 4 + \cos 2 - 1 = 3 + \cos 2$

Используем данное в условии приближенное значение $\cos 2 \approx -0,41$:

$S \approx 3 + (-0,41) = 2,59$

Ответ: $S = 3 + \cos 2 \approx 2,59$.

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 3-x$, $x=0$ и $x=-1$, необходимо вычислить определенный интеграл на отрезке $[-1, 0]$. Сначала определим, какая из функций больше на этом отрезке.

Рассмотрим разность функций $h(x) = (3-x) - \cos x$. Найдем ее производную: $h'(x) = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$.

На отрезке $[-1, 0]$ значения функции $\sin x$ лежат в диапазоне $[\sin(-1), \sin(0)]$, то есть примерно $[-0,84, 0]$. Следовательно, $\sin x \le 0$ на этом отрезке. Тогда $h'(x) = \sin x - 1$ будет всегда отрицательной ($h'(x) < 0$), так как максимальное значение $\sin x$ равно 0, и $0-1 = -1 < 0$.

Поскольку $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ является убывающей на отрезке $[-1, 0]$.

Найдем значение $h(x)$ в конечной точке отрезка, $x=0$: $h(0) = (3-0) - \cos(0) = 3 - 1 = 2$.

Так как функция $h(x)$ убывающая и $h(0)=2$, то на всем отрезке $[-1, 0]$ ее значения будут больше или равны 2. Таким образом, $3-x \ge \cos x$ на отрезке $[-1, 0]$, и график функции $y=3-x$ лежит выше графика $y=\cos x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданному отрезку:

$S = \int_{-1}^{0} ((3-x) - \cos x) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{-1}^{0} (3-x - \cos x) \,dx = \left( 3x - \frac{x^2}{2} - \sin x \right) \Big|_{-1}^0$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( 3(0) - \frac{0^2}{2} - \sin 0 \right) - \left( 3(-1) - \frac{(-1)^2}{2} - \sin(-1) \right)$

$S = (0 - 0 - 0) - \left( -3 - \frac{1}{2} - \sin(-1) \right) = - \left( -3.5 - \sin(-1) \right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-1) = -\sin(1)$:

$S = -(-3.5 - (-\sin 1)) = -(-3.5 + \sin 1) = 3.5 - \sin 1$

Используем данное в условии приближенное значение $\sin 1 \approx 0,84$:

$S \approx 3.5 - 0.84 = 2.66$

Ответ: $S = 3,5 - \sin 1 \approx 2,66$.

1) Для нахождения объема тела, полученного вращением параболы $y = x^2$ вокруг оси абсцисс (оси Ox) на отрезке от $x = 0$ до $x = 2$, используется метод дисков. Формула для вычисления объема:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае, функция $f(x) = y = x^2$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 dx$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$

Таким образом, объем тела вращения равен $\frac{32\pi}{5}$ кубических единиц.

Ответ: $\frac{32\pi}{5}$

2) Необходимо найти объем тела, полученного вращением параболы $y = x^2$ вокруг оси ординат (оси Oy). Указанный интервал по $x$ от -2 до 2 означает, что мы рассматриваем часть параболы, ограниченную по высоте. При $x = \pm 2$ соответствующее значение $y$ равно $y = (\pm 2)^2 = 4$. Таким образом, тело вращения представляет собой параболоид, ограниченный сверху плоскостью $y=4$.

Для вычисления объема будем использовать метод дисков, но с интегрированием по оси $y$. Формула для объема вращения вокруг оси Oy имеет вид:

$V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$

Сначала выразим $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = x^2$.

Пределы интегрирования по $y$ определяются диапазоном значений $y$ для рассматриваемой части параболы.Нижний предел $c$ соответствует $x=0$, то есть $y=0^2=0$.Верхний предел $d$ соответствует $x=\pm 2$, то есть $y=(\pm 2)^2=4$.Следовательно, мы интегрируем от $c=0$ до $d=4$.

Подставляем $x^2 = y$ и пределы интегрирования в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy$

Вычисляем полученный интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Таким образом, объем тела вращения равен $8\pi$ кубических единиц.

Ответ: $8\pi$

Биіктік (жүрілген жол) - бұл уақыт бойынша жылдамдықтың интегралы. Дененің құлаған биіктігін $h$ деп белгілеп, оны $t=0$-ден $t=4$ с-қа дейінгі аралықта жылдамдық функциясының анықталған интегралын есептеу арқылы табамыз.

Жүрілген жолдың формуласы:$h = \int v(t) dt$

Есептің шарты бойынша берілгендерді қоямыз:$h = \int_{0}^{4} (9,8t + 0,01t^2) dt$

Интегралды есептейміз:$h = \left( 9,8\frac{t^2}{2} + 0,01\frac{t^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{4} = \left( 4,9t^2 + \frac{0,01}{3}t^3 \right) \bigg|_{0}^{4}$

Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, интегралдау шектерін қоямыз:$h = \left( 4,9 \cdot 4^2 + \frac{0,01}{3} \cdot 4^3 \right) - \left( 4,9 \cdot 0^2 + \frac{0,01}{3} \cdot 0^3 \right)$

Арифметикалық есептеулерді орындаймыз:$h = (4,9 \cdot 16 + \frac{0,01}{3} \cdot 64) - 0$$h = 78,4 + \frac{0,64}{3}$$h \approx 78,4 + 0,213$$h \approx 78,613$ м

Ответ: Дене шамамен 78,613 метр биіктіктен құлаған.