Номер 48, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = (x - 2)(2x - 3)$ и $y = 0$, необходимо сначала найти точки пересечения этих линий. Точки пересечения являются пределами интегрирования.

Приравняем уравнения:
$(x - 2)(2x - 3) = 0$
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Таким образом, интегрирование будет производиться в пределах от $1.5$ до $2$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $y = (x - 2)(2x - 3) = 2x^2 - 7x + 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. На интервале $(1.5, 2)$ значения функции отрицательны (график находится под осью Ox), поэтому для вычисления площади мы должны взять интеграл от функции с противоположным знаком.

$S = \int_{1.5}^{2} -(2x^2 - 7x + 6) dx = \int_{1.5}^{2} (-2x^2 + 7x - 6) dx$

Найдем первообразную:
$F(x) = \int (-2x^2 + 7x - 6) dx = -2\frac{x^3}{3} + 7\frac{x^2}{2} - 6x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:
$S = \left( - \frac{2 \cdot 2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 6 \cdot 2 \right) - \left( - \frac{2 \cdot (1.5)^3}{3} + \frac{7 \cdot (1.5)^2}{2} - 6 \cdot 1.5 \right)$
$S = \left( - \frac{16}{3} + 14 - 12 \right) - \left( - \frac{2 \cdot (3/2)^3}{3} + \frac{7 \cdot (3/2)^2}{2} - 9 \right)$
$S = \left( - \frac{16}{3} + 2 \right) - \left( - \frac{2 \cdot 27/8}{3} + \frac{7 \cdot 9/4}{2} - 9 \right)$
$S = \left( - \frac{10}{3} \right) - \left( - \frac{9}{4} + \frac{63}{8} - \frac{72}{8} \right)$
$S = - \frac{10}{3} - \left( \frac{-18 + 63 - 72}{8} \right)$
$S = - \frac{10}{3} - \left( - \frac{27}{8} \right) = - \frac{10}{3} + \frac{27}{8} = \frac{-80 + 81}{24} = \frac{1}{24}$

График функции и заштрихованная область:

Ответ: $\frac{1}{24}$

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = (3x + 2)(x - 1)$ и $y = 0$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков.

Приравняем $y$ к нулю:
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
Корни уравнения: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3}$ и $x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$.
Интегрировать будем в пределах от $-\frac{2}{3}$ до $1$.

Функция $y = (3x + 2)(x - 1) = 3x^2 - x - 2$ является параболой с ветвями вверх. На интервале $(-\frac{2}{3}, 1)$ график функции лежит ниже оси Ox, поэтому $y < 0$. Для нахождения площади необходимо интегрировать $-y$.

$S = \int_{-2/3}^{1} -(3x^2 - x - 2) dx = \int_{-2/3}^{1} (-3x^2 + x + 2) dx$

Находим первообразную:
$F(x) = \int (-3x^2 + x + 2) dx = -x^3 + \frac{x^2}{2} + 2x$

Вычисляем определенный интеграл:
$S = \left( -1^3 + \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -(-\frac{2}{3})^3 + \frac{(-\frac{2}{3})^2}{2} + 2 \cdot (-\frac{2}{3}) \right)$
$S = \left( -1 + \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -(-\frac{8}{27}) + \frac{4/9}{2} - \frac{4}{3} \right)$
$S = \left( \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{8}{27} + \frac{2}{9} - \frac{4}{3} \right)$
$S = \frac{3}{2} - \left( \frac{8}{27} + \frac{6}{27} - \frac{36}{27} \right)$
$S = \frac{3}{2} - \left( \frac{14 - 36}{27} \right) = \frac{3}{2} - \left( - \frac{22}{27} \right)$
$S = \frac{3}{2} + \frac{22}{27} = \frac{3 \cdot 27 + 22 \cdot 2}{54} = \frac{81 + 44}{54} = \frac{125}{54}$

График функции и заштрихованная область:

Ответ: $\frac{125}{54}$