Номер 45, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения неравенства $\int_{x}^{3} (t + 1) dt < 0$ сначала вычислим определенный интеграл.
Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = t + 1$ есть $F(t) = \frac{t^2}{2} + t$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{x}^{3} (t + 1) dt = \left( \frac{t^2}{2} + t \right) \Big|_{x}^{3} = \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \frac{x^2}{2} + x \right) = \left( \frac{9}{2} + 3 \right) - \frac{x^2}{2} - x = \frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x$.
Теперь решим неравенство:
$\frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x < 0$.
Умножим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$-15 + x^2 + 2x > 0$
$x^2 + 2x - 15 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Следовательно, выражение больше нуля при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -5$ или $x > 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.

2) Для решения неравенства $\int_{x}^{2} (1 - t) dt > 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 1 - t$ есть $F(t) = t - \frac{t^2}{2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{x}^{2} (1 - t) dt = \left( t - \frac{t^2}{2} \right) \Big|_{x}^{2} = \left( 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = (2 - 2) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x$.
Решим неравенство:
$\frac{x^2}{2} - x > 0$.
Умножим обе части на 2:
$x^2 - 2x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) > 0$.
Корни уравнения $x(x-2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому выражение больше нуля при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

3) Для решения неравенства $\int_{-2}^{x} (2 - 3t) dt > 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 2 - 3t$ есть $F(t) = 2t - \frac{3t^2}{2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{x} (2 - 3t) dt = \left( 2t - \frac{3t^2}{2} \right) \Big|_{-2}^{x} = \left( 2x - \frac{3x^2}{2} \right) - \left( 2(-2) - \frac{3(-2)^2}{2} \right) = 2x - \frac{3x^2}{2} - (-4 - 6) = 2x - \frac{3x^2}{2} + 10$.
Решим неравенство:
$-\frac{3}{2}x^2 + 2x + 10 > 0$.
Умножим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства:
$3x^2 - 4x - 20 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x - 20 = 0$:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-20)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{4 \pm 16}{6}$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 16}{6} = -2$, $x_2 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 20$ направлены вверх, поэтому выражение меньше нуля при значениях $x$ в интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < \frac{10}{3}$.
Ответ: $x \in (-2, \frac{10}{3})$.

4) Для решения неравенства $\int_{-3}^{x} (4t - 1) dt < 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 4t - 1$ есть $F(t) = 2t^2 - t$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-3}^{x} (4t - 1) dt = \left( 2t^2 - t \right) \Big|_{-3}^{x} = (2x^2 - x) - (2(-3)^2 - (-3)) = 2x^2 - x - (18 + 3) = 2x^2 - x - 21$.
Решим неравенство:
$2x^2 - x - 21 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 21 = 0$:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-21)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{1 \pm 13}{4}$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{4} = -3$, $x_2 = \frac{1 + 13}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 21$ направлены вверх, поэтому выражение меньше нуля при значениях $x$ в интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < \frac{7}{2}$.
Ответ: $x \in (-3, \frac{7}{2})$.