Номер 40, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $ \int_{1}^{x} (3 - 2t) dt = 4 - 2x $.
Сначала найдем левую часть уравнения, вычислив определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 3 - 2t$ равна $F(t) = \int (3 - 2t) dt = 3t - \frac{2t^2}{2} = 3t - t^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) $:
$ \int_{1}^{x} (3 - 2t) dt = (3t - t^2) \Big|_{1}^{x} = (3x - x^2) - (3 \cdot 1 - 1^2) = 3x - x^2 - (3 - 1) = 3x - x^2 - 2 $.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$ 3x - x^2 - 2 = 4 - 2x $.
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ -x^2 + 3x + 2x - 2 - 4 = 0 $
$ -x^2 + 5x - 6 = 0 $.
Умножим обе части на -1:
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:
$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $.
Ответ: $x = 2, x = 3$.

2) Дано уравнение $ \int_{1}^{x} (1 - 4t) dt = 12 - 9x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 1 - 4t$: $F(t) = \int (1 - 4t) dt = t - \frac{4t^2}{2} = t - 2t^2$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{1}^{x} (1 - 4t) dt = (t - 2t^2) \Big|_{1}^{x} = (x - 2x^2) - (1 - 2 \cdot 1^2) = x - 2x^2 - (1 - 2) = x - 2x^2 + 1 $.
Подставим в исходное уравнение:
$ x - 2x^2 + 1 = 12 - 9x $.
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$ -2x^2 + x + 9x + 1 - 12 = 0 $
$ -2x^2 + 10x - 11 = 0 $.
Умножим на -1:
$ 2x^2 - 10x + 11 = 0 $.
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 - 88 = 12 $.
Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2} $.
$ x_1 = \frac{5 - \sqrt{3}}{2} $, $ x_2 = \frac{5 + \sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $x = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2}$.

3) Дано уравнение $ \int_{x}^{-1} (3t - 2) dt = 5 - x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 3t - 2$: $F(t) = \int (3t - 2) dt = \frac{3t^2}{2} - 2t$.
Вычислим интеграл:
$ \int_{x}^{-1} (3t - 2) dt = (\frac{3}{2}t^2 - 2t) \Big|_{x}^{-1} = (\frac{3}{2}(-1)^2 - 2(-1)) - (\frac{3}{2}x^2 - 2x) = (\frac{3}{2} + 2) - \frac{3}{2}x^2 + 2x = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x $.
Подставим в исходное уравнение:
$ \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x = 5 - x $.
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей, и приведем к стандартному виду:
$ 7 - 3x^2 + 4x = 10 - 2x $
$ -3x^2 + 4x + 2x + 7 - 10 = 0 $
$ -3x^2 + 6x - 3 = 0 $.
Разделим обе части на -3:
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $.
Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

4) Дано уравнение $ \int_{x}^{-2} (5t + 1) dt = 6 + x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 5t + 1$: $F(t) = \int (5t + 1) dt = \frac{5t^2}{2} + t$.
Вычислим интеграл:
$ \int_{x}^{-2} (5t + 1) dt = (\frac{5}{2}t^2 + t) \Big|_{x}^{-2} = (\frac{5}{2}(-2)^2 + (-2)) - (\frac{5}{2}x^2 + x) = (\frac{5}{2} \cdot 4 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = (10 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = 8 - \frac{5}{2}x^2 - x $.
Подставим в исходное уравнение:
$ 8 - \frac{5}{2}x^2 - x = 6 + x $.
Умножим обе части на 2 и приведем к стандартному виду:
$ 16 - 5x^2 - 2x = 12 + 2x $
$ -5x^2 - 2x - 2x + 16 - 12 = 0 $
$ -5x^2 - 4x + 4 = 0 $.
Умножим на -1:
$ 5x^2 + 4x - 4 = 0 $.
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96 $.
Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{6})}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5} $.
$ x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5} $, $ x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5} $.
Ответ: $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5}$.