Номер 37, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение. Так как $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, то $ \frac{5\sqrt{x}}{x} = \frac{5x^{1/2}}{x^1} = 5x^{1/2 - 1} = 5x^{-1/2} $.
Теперь вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для степенной функции $ x^n $ находится по формуле $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
$ \int_{1}^{4} 5x^{-1/2} dx = 5 \int_{1}^{4} x^{-1/2} dx = 5 \cdot \left( \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) \Big|_{1}^{4} = 5 \cdot \left( \frac{x^{1/2}}{1/2} \right) \Big|_{1}^{4} = 10x^{1/2} \Big|_{1}^{4} = 10\sqrt{x} \Big|_{1}^{4} $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ 10\sqrt{4} - 10\sqrt{1} = 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 20 - 10 = 10 $.
Ответ: 10

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx $ воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $ t = 1-x $. Тогда найдем дифференциал: $ dt = (1-x)' dx = -dx $, откуда $ dx = -dt $.
Так как мы меняем переменную, нужно найти новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = -8 $, $ t = 1 - (-8) = 1 + 8 = 9 $.
верхний предел: при $ x = -3 $, $ t = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = \int_{9}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int_{9}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} dt $.
Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования и избавиться от знака "минус":
$ -\int_{9}^{4} t^{-1/2} dt = \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt = \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{4}^{9} = [2\sqrt{t}]_{4}^{9} $.
Подставляем новые пределы:
$ 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 $.
Ответ: 2

3) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx $. Применим метод замены переменной.
Пусть $ t = x+5 $. Тогда $ dt = (x+5)' dx = dx $.
Найдем новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = 4 $, $ t = 4 + 5 = 9 $.
верхний предел: при $ x = 11 $, $ t = 11 + 5 = 16 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{4}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx = \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int_{9}^{16} t^{-1/2} dt $.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{9}^{16} = [2\sqrt{t}]_{9}^{16} = 2\sqrt{16} - 2\sqrt{9} = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2 $.
Ответ: 2

4) Вычислим интеграл $ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx $. Снова используем метод замены переменной.
Пусть $ t = x+2 $. Тогда $ dt = (x+2)' dx = dx $.
Найдем новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = 14 $, $ t = 14 + 2 = 16 $.
верхний предел: при $ x = 47 $, $ t = 47 + 2 = 49 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{16}^{49} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = 4 \int_{16}^{49} t^{-1/2} dt $.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$ 4 \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{16}^{49} = 4 \cdot [2\sqrt{t}]_{16}^{49} = 8[\sqrt{t}]_{16}^{49} $.
Подставляем новые пределы:
$ 8(\sqrt{49} - \sqrt{16}) = 8(7 - 4) = 8 \cdot 3 = 24 $.
Ответ: 24