Номер 32, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразной для функции $ f(x) = \cos x $ является $ F(x) = \sin x $.
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos x \,dx = \sin x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $
Зная значения синуса: $ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 $.
Ответ: 0.

2) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразной для функции $ f(x) = \sin x $ является $ F(x) = -\cos x $.
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x \,dx = (-\cos x) \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) $
Зная значения косинуса: $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $.
Ответ: 1.

3) Для вычисления интеграла от многочлена найдем его первообразную, используя правило $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
Первообразная для $ f(x) = 5x^4 + 6x^2 $ будет $ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^3}{3} = x^5 + 2x^3 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = (x^5 + 2x^3) \Big|_{-1}^{1} = (1^5 + 2 \cdot 1^3) - ((-1)^5 + 2 \cdot (-1)^3) $
Выполним вычисления:
$ (1 + 2) - (-1 + 2 \cdot (-1)) = 3 - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 $.
Замечание: подынтегральная функция $ f(x) = 5x^4 + 6x^2 $ является четной, так как $ f(-x) = 5(-x)^4 + 6(-x)^2 = 5x^4 + 6x^2 = f(x) $, а интеграл вычисляется по симметричному промежутку $ [-1, 1] $. Поэтому можно было вычислить интеграл как $ 2\int_{0}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = 2(x^5 + 2x^3) \Big|_{0}^{1} = 2((1^5 + 2 \cdot 1^3) - 0) = 2(1+2) = 6 $.
Ответ: 6.

4) Для вычисления интеграла от многочлена найдем его первообразную, используя правило $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
Первообразная для $ f(x) = 4x^3 + 6x $ будет $ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} = x^4 + 3x^2 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx = (x^4 + 3x^2) \Big|_{-2}^{1} = (1^4 + 3 \cdot 1^2) - ((-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2) $
Выполним вычисления:
$ (1 + 3) - (16 + 3 \cdot 4) = 4 - (16 + 12) = 4 - 28 = -24 $.
Ответ: -24.