Страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx$ используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$:

$F(x) = \int (2x - 3) dx = 2\frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = (x^2 - 3x)\Big|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3(-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.

Ответ: $-20$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx$ найдем первообразную функции $f(x) = 5 - 4x$.

$F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4\frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx = (5x - 2x^2)\Big|_{-2}^{1} = (5 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) - (5(-2) - 2(-2)^2) = (5 - 2) - (-10 - 8) = 3 - (-18) = 21$.

Ответ: $21$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx$.

Первообразная для $f(x) = 3x^2 + 10$ равна:

$F(x) = \int (3x^2 + 10) dx = 3\frac{x^3}{3} + 10x = x^3 + 10x$.

Вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx = (x^3 + 10x)\Big|_{-2}^{0} = (0^3 + 10 \cdot 0) - ((-2)^3 + 10(-2)) = 0 - (-8 - 20) = 28$.

Ответ: $28$.

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 6x^2 - 2x + 5$:

$F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx = 6\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 5x = 2x^3 - x^2 + 5x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx = (2x^3 - x^2 + 5x)\Big|_{0}^{2} = (2 \cdot 2^3 - 2^2 + 5 \cdot 2) - (2 \cdot 0^3 - 0^2 + 5 \cdot 0) = (16 - 4 + 10) - 0 = 22$.

Ответ: $22$.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразной для функции $ f(x) = \cos x $ является $ F(x) = \sin x $.
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos x \,dx = \sin x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $
Зная значения синуса: $ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 $.
Ответ: 0.

2) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразной для функции $ f(x) = \sin x $ является $ F(x) = -\cos x $.
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x \,dx = (-\cos x) \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) $
Зная значения косинуса: $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $.
Ответ: 1.

3) Для вычисления интеграла от многочлена найдем его первообразную, используя правило $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
Первообразная для $ f(x) = 5x^4 + 6x^2 $ будет $ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^3}{3} = x^5 + 2x^3 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = (x^5 + 2x^3) \Big|_{-1}^{1} = (1^5 + 2 \cdot 1^3) - ((-1)^5 + 2 \cdot (-1)^3) $
Выполним вычисления:
$ (1 + 2) - (-1 + 2 \cdot (-1)) = 3 - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 $.
Замечание: подынтегральная функция $ f(x) = 5x^4 + 6x^2 $ является четной, так как $ f(-x) = 5(-x)^4 + 6(-x)^2 = 5x^4 + 6x^2 = f(x) $, а интеграл вычисляется по симметричному промежутку $ [-1, 1] $. Поэтому можно было вычислить интеграл как $ 2\int_{0}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = 2(x^5 + 2x^3) \Big|_{0}^{1} = 2((1^5 + 2 \cdot 1^3) - 0) = 2(1+2) = 6 $.
Ответ: 6.

4) Для вычисления интеграла от многочлена найдем его первообразную, используя правило $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
Первообразная для $ f(x) = 4x^3 + 6x $ будет $ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} = x^4 + 3x^2 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx = (x^4 + 3x^2) \Big|_{-2}^{1} = (1^4 + 3 \cdot 1^2) - ((-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2) $
Выполним вычисления:
$ (1 + 3) - (16 + 3 \cdot 4) = 4 - (16 + 12) = 4 - 28 = -24 $.
Ответ: -24.

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому подынтегральная функция преобразуется к виду: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим преобразованную функцию в интеграл и вычислим его, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx = \frac{1}{2} [x - \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}\right) - (0 - \sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 - 0 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 2}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi - 2}{4}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, поэтому $2\alpha = \frac{x}{2}$. Подынтегральная функция преобразуется к виду: $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$.

Подставим преобразованную функцию в интеграл и вычислим его:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos \frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \left[x + 2\sin \frac{x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi/2}{2}\right) - (0 + 2\sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{2} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi + 2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi + 2\sqrt{2}}{4}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$ упростим подынтегральную функцию. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.

Теперь подставим это в дробь и сократим (сокращение возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю):

$\frac{(x^2 + 1)(x + 1)}{x + 1} = x^2 + 1$.

Вычислим интеграл от упрощенной функции:

$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{3}^{5} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$ упростим подынтегральную функцию. Разложим числитель, квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$, на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложение в дробь и сократим (сокращение возможно, так как на отрезке $[3, 5]$ знаменатель $x-2$ не равен нулю):

$\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$.

Теперь вычислим интеграл от упрощенной функции:

$\int_{3}^{5} (x - 3) dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{5} = \left(\frac{5^2}{2} - 3 \cdot 5\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3\right) = \left(\frac{25}{2} - 15\right) - \left(\frac{9}{2} - 9\right) = \left(\frac{25-30}{2}\right) - \left(\frac{9-18}{2}\right) = \frac{-5}{2} - \frac{-9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 2x$, поэтому подынтегральное выражение упрощается до $\cos(x + 2x) = \cos(3x)$.

Теперь интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \cos(3x) dx$.

Первообразная для функции $\cos(3x)$ равна $\frac{1}{3}\sin(3x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\left[ \frac{1}{3}\sin(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{18}} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3}\sin(0)$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$, поэтому подынтегральное выражение упрощается до $\sin(x + 3x) = \sin(4x)$.

Теперь интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx$.

Первообразная для функции $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ -\frac{1}{4}\cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{16})\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}\cos(0)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

3) Вычислим интеграл $\int_{0,3}^{1,5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Для этого представим ее в виде $f(x) = \frac{1}{2} + 3x^{-2}$.

Первообразная $F(x) = \int (\frac{1}{2} + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x + 3\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=0,3$ и $b=1,5$:

$\left[ \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} \right]_{0,3}^{1,5} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1,5 - \frac{3}{1,5}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0,3 - \frac{3}{0,3}\right) = (0,75 - 2) - (0,15 - 10) = -1,25 - (-9,85) = -1,25 + 9,85 = 8,6$.

Ответ: $8,6$

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Для этого представим ее в виде $f(x) = x - 4x^{-2}$.

Первообразная $F(x) = \int (x - 4x^{-2}) dx = \frac{x^2}{2} - 4\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=-2$ и $b=-1$:

$\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} \right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^2}{2} + \frac{4}{-1}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + \frac{4}{-2}\right) = \left(\frac{1}{2} - 4\right) - \left(\frac{4}{2} - 2\right) = \left(-\frac{7}{2}\right) - (2 - 2) = -3,5 - 0 = -3,5$.

Ответ: $-3,5$

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ является функция $F(x) = \frac{1}{3} \tan(3x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x} = \frac{1}{3} \tan(3x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3} \tan(3 \cdot \frac{\pi}{12}) - \frac{1}{3} \tan(3 \cdot 0) = \frac{1}{3} \tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{3} \tan(0) = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}$ является функция $F(x) = -\frac{1}{2} \cot(2x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x} = -\frac{1}{2} \cot(2x) \Big|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{2} \cot(2 \cdot \frac{\pi}{6})\right) - \left(-\frac{1}{2} \cot(2 \cdot \frac{\pi}{12})\right) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \sin(3x)$ является функция $F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{3} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{12})\right) - \left(-\frac{1}{3} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{18})\right) = -\frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \cos(4x)$ является функция $F(x) = \frac{1}{4} \sin(4x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x) dx = \frac{1}{4} \sin(4x) \Big|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4} \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{4} \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{4} \sin(\pi) - \frac{1}{4} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$