Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. $\int_a^b f(x)dx$ неге анықталған интеграл деп аталады?

$\int_a^b f(x)dx$ өрнегі анықталған интеграл деп аталады, себебі ол нақты, анықталған $[a; b]$ аралығында (кесіндісінде) есептеледі. Бұл интегралдың нәтижесі – бұл функциялар жиыны емес, бір нақты сан болып табылады.

Геометриялық тұрғыдан, егер $f(x) \ge 0$ болса, бұл сан $x=a$, $x=b$ түзулерімен, $Ox$ осімен және $y=f(x)$ функциясының графигімен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданын білдіреді. "Анықталған" сөзі оның интегралдау шектерінің ($a$ және $b$) нақты көрсетілуіне және нәтижесінің белгілі бір сан болуына байланысты қолданылады.

Ответ: Себебі ол нақты $[a; b]$ кесіндісінде есептеледі және оның нәтижесі функция емес, нақты сан болып табылады.

2. Анықталған интегралдың анықталмаған интегралдан қандай айырмашылығы бар?

Анықталған интеграл мен анықталмаған интегралдың бірнеше негізгі айырмашылықтары бар:

Анықталмаған интеграл ($\int f(x)dx$):

• Нәтижесі: $f(x)$ функциясының барлық алғашқы функцияларының жиыны, яғни $F(x) + C$ түріндегі функция, мұндағы $F'(x) = f(x)$ және $C$ – кез келген тұрақты сан.
• Интегралдау шектері: Жоқ.
• Мағынасы: Дифференциалдауға кері амал, алғашқы функцияны табу процесі.

Анықталған интеграл ($\int_a^b f(x)dx$):

• Нәтижесі: Нақты сан.
• Интегралдау шектері: Бар ($a$ – төменгі шегі, $b$ – жоғарғы шегі).
• Мағынасы: Геометриялық тұрғыдан – қисық астындағы аудан, физикалық тұрғыдан – жүрілген жол, масса және т.б. шамаларды есептеу.

Бұл екі ұғым Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы байланысады: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, мұндағы $F(x)$ – $f(x)$ функциясының кез келген алғашқы функциясы.

Ответ: Анықталған интегралдың нәтижесі – сан, ал анықталмаған интегралдың нәтижесі – функциялар жиыны ($F(x)+C$). Анықталған интегралдың интегралдау шектері болады, ал анықталмағанда болмайды.

3. Интеграл ішіндегі функция берілген кесіндіде үзілісті функция болған жағдайда, анықталған интегралды қарастыруға бола ма? Жауабын түсіндіріндер.

Иә, интеграл ішіндегі функцияның берілген кесіндіде үзіліс нүктелері болса да, анықталған интегралды қарастыруға болады. Бірақ бұл үзілістің түріне байланысты.

1. Егер $f(x)$ функциясы $[a, b]$ кесіндісінде шектеулі санды бірінші текті үзіліс нүктелеріне (секірмелі үзілістер) ие болса, онда интеграл бар болады. Бұл жағдайда интегралдау аралығы үзіліс нүктелері арқылы бірнеше бөлікке бөлініп, әр бөліктегі интегралдардың қосындысы ретінде есептеледі. Мысалы, егер $c \in (a, b)$ нүктесі үзіліс нүктесі болса, онда: $$ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx $$

2. Егер функцияның жөнделетін үзіліс нүктесі болса, интегралдың мәніне бұл әсер етпейді.

3. Егер функцияның екінші текті үзіліс нүктесі болса (яғни, функция осы нүктеде шексіздікке ұмтылса), онда бұл меншіксіз интеграл деп аталады. Мұндай интеграл жинақты (нәтижесі нақты сан) немесе жинақсыз (нәтижесі шексіздік) болуы мүмкін. Оны есептеу үшін шектер теориясы қолданылады.

Ответ: Иә, болады. Егер үзілістер саны шектеулі және олар бірінші текті болса, интеграл аралықты бөліктерге бөлу арқылы есептеледі. Егер үзіліс екінші текті болса, онда ол меншіксіз интеграл ретінде қарастырылады.

4. $\int_a^b f(x) dx = 0$ екені белгілі. Бұдан $[a, b]$ кесіндісінде $f(x) = 0$ бола ма? Жауабын түсіндіріндер.

Жоқ, $\int_a^b f(x) dx = 0$ болуы $[a, b]$ кесіндісінде $f(x) = 0$ болуын білдірмейді.

Мұның себебі, анықталған интеграл $Ox$ осінен жоғары орналасқан ауданды оң таңбамен, ал $Ox$ осінен төмен орналасқан ауданды теріс таңбамен есептейді. Сондықтан, интегралдың нөлге тең болуы функцияның графигімен шектелген оң аудандар мен теріс аудандардың қосындысы (компенсациясы) нөлге тең екенін білдіруі мүмкін.

Мысал: $f(x) = x$ функциясын $[-1, 1]$ кесіндісінде қарастырайық. $$ \int_{-1}^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 $$ Интеграл нөлге тең, бірақ $f(x) = x$ функциясы [-1, 1] аралығында тек $x=0$ нүктесінде ғана нөлге тең, ал басқа нүктелерде нөлге тең емес.

Айта кету керек, егер $f(x)$ функциясы $[a, b]$ кесіндісінде үзіліссіз және таңбасын сақтаса (яғни, барлық $x$ үшін $f(x) \ge 0$ немесе барлық $x$ үшін $f(x) \le 0$), онда $\int_a^b f(x) dx = 0$ теңдігінен $f(x)=0$ екені шығады.

Ответ: Жоқ, міндетті емес. Себебі $Ox$ осінен жоғары және төмен орналасқан аудандар бір-бірін компенсациялап, қосындысы нөлге тең болуы мүмкін.