Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin(6x)$ и осью абсцисс ($y=0$), необходимо вычислить определенный интеграл. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \sin(6x)$, $a = \frac{\pi}{18}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Проверим, что функция $f(x) = \sin(6x)$ неотрицательна на отрезке $[\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$.При $x \in [\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$, аргумент $6x$ находится в интервале $[6 \cdot \frac{\pi}{18}, 6 \cdot \frac{\pi}{12}]$, то есть $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале $\sin(6x)$ принимает значения от $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, следовательно, функция неотрицательна.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(6x) \,dx$

Первообразная для $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[-\frac{1}{6}\cos(6x)\right]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{18}\right)\right)$

$S = -\frac{1}{6}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми $y=0$ (ось абсцисс), $x = \frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$ и графиком функции $y = \cos(4x)$, также используем определенный интеграл.

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Здесь $f(x) = \cos(4x)$, $a = \frac{\pi}{24}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Проверим знак функции $f(x) = \cos(4x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$.При $x \in [\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$, аргумент $4x$ находится в интервале $[4 \cdot \frac{\pi}{24}, 4 \cdot \frac{\pi}{12}]$, то есть $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$. В этом интервале $\cos(4x)$ принимает значения от $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, следовательно, функция положительна.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} \cos(4x) \,dx$

Первообразная для $\cos(4x)$ равна $\frac{1}{4}\sin(4x)$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[\frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(\frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(\frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right)\right)$

$S = \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{3}-1}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{8}$

1) Фигура ограничена кривыми $y = -x^3$, $x = -3$ и $y = 0$ (ось Ox). Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривой $y = -x^3$ с осью Ox: $-x^3 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[-3, 0]$. На этом отрезке функция $y = -x^3$ неотрицательна ($x \le 0 \implies x^3 \le 0 \implies -x^3 \ge 0$), поэтому кривая находится выше оси Ox. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-3}^{0} (-x^3) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{81}{4}\right) = \frac{81}{4} = 20.25$.
Ответ: $S = \frac{81}{4}$.

2) Фигура ограничена кривыми $y = -2x^3$, $x = -2$ и $y = 0$. Точка пересечения кривой $y = -2x^3$ с осью Ox: $-2x^3 = 0$, откуда $x=0$. Интервал интегрирования — $[-2, 0]$. На этом интервале функция $y = -2x^3$ неотрицательна, так как $x \le 0$. Площадь вычисляется интегралом:
$S = \int_{-2}^{0} (-2x^3) \, dx = \left[ -2 \cdot \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = \left[ -\frac{x^4}{2} \right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{0^4}{2}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{2}\right) = 8$.
Ответ: $S = 8$.

3) Фигура ограничена кривыми $y = 1 - x^3$, $x = 0$ и $y = 0$. Найдем точку пересечения кривой $y = 1 - x^3$ с осью Ox: $1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x=1$. Интервал интегрирования — $[0, 1]$. На этом интервале функция $y = 1 - x^3$ неотрицательна. Площадь равна:
$S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) \, dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(0 - \frac{0^4}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $S = \frac{3}{4}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 1 - x^2$, прямой $x = -1$ и осью $y = 0$. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox: $1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1$. Фигура ограничена кривой и осью Ox на отрезке $[-1, 1]$. На этом интервале $y = 1-x^2 \ge 0$. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x + 3$, осью $y = 0$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$. Чтобы определить знак функции на интервале $[0, 2]$, найдем ее корни: $-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$. Корни $x=-1$ и $x=3$. Так как ветви параболы направлены вниз, на интервале $(-1, 3)$ функция положительна. Отрезок $[0, 2]$ входит в этот интервал, поэтому $y \ge 0$. Площадь вычисляется интегралом:
$S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2\right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
Ответ: $S = \frac{22}{3}$.

6) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 2x + 2$, осью $y = 0$ и прямыми $x = -1$, $x = 0$. Найдем корни функции: $-x^2 - 2x + 2 = 0 \implies x^2 + 2x - 2 = 0$. По формуле для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Интервал интегрирования $[-1, 0]$ лежит между корнями $(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})$, поэтому на нем $y \ge 0$. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1)\right) = - \left(\frac{1}{3} - 1 - 2\right) = - \left(\frac{1}{3} - 3\right) = \frac{8}{3}$.
Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

7) Фигура ограничена кривыми $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и прямой $x = 4$. Найдем точку пересечения кривых для определения второго предела интегрирования: $\frac{16}{x^2} = 2x \implies 16 = 2x^3 \implies x^3 = 8 \implies x=2$. Интервал интегрирования — $[2, 4]$. Сравним функции на этом интервале, выбрав пробную точку $x=3$: $y_1 = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9}$, $y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 > \frac{16}{9}$, график $y=2x$ лежит выше графика $y=\frac{16}{x^2}$. Площадь равна интегралу от разности функций:
$S = \int_{2}^{4} \left(2x - \frac{16}{x^2}\right) \, dx = \left[ x^2 - 16\frac{x^{-1}}{-1} \right]_{2}^{4} = \left[ x^2 + \frac{16}{x} \right]_{2}^{4} = \left(4^2 + \frac{16}{4}\right) - \left(2^2 + \frac{16}{2}\right) = (16+4) - (4+8) = 20 - 12 = 8$.
Ответ: $S = 8$.

8) Фигура ограничена кривыми $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$ и прямой $x = -4$. Найдем точки пересечения кривых: $-\frac{3}{x^3} = -3x \implies 1 = x^4 \implies x = \pm 1$. Область интегрирования ограничена прямыми $x=-4$ и $x=-1$. На интервале $[-4, -1]$ сравним функции. Возьмем пробную точку $x=-2$: $y_1 = -\frac{3}{(-2)^3} = \frac{3}{8}$, $y_2 = -3(-2) = 6$. Так как $6 > \frac{3}{8}$, прямая $y=-3x$ проходит выше кривой $y=-\frac{3}{x^3}$. Площадь равна интегралу от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-4}^{-1} \left(-3x - \left(-\frac{3}{x^3}\right)\right) \, dx = \int_{-4}^{-1} \left(-3x + 3x^{-3}\right) \, dx = \left[ -\frac{3x^2}{2} + \frac{3x^{-2}}{-2} \right]_{-4}^{-1} = \left[ -\frac{3x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} \right]_{-4}^{-1}$
$= \left(-\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{3}{2(-1)^2}\right) - \left(-\frac{3(-4)^2}{2} - \frac{3}{2(-4)^2}\right) = \left(-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{3}{2 \cdot 16}\right) = -3 - \left(-24 - \frac{3}{32}\right) = 21 + \frac{3}{32} = \frac{672+3}{32} = \frac{675}{32}$.
Ответ: $S = \frac{675}{32}$.

Фигураның ауданын табу үшін $y = \sin(6x)$ функциясының $[0, \frac{\pi}{6}]$ кесіндісіндегі анықталған интегралын есептеу керек. Бұл фигура $y = \sin(6x)$ қисығымен, $y=0$ (Ox осімен) және $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$ тік сызықтарымен шектелген.

Егер $[a, b]$ аралығында $f(x) \ge 0$ болса, қисықсызықты трапецияның ауданы $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$ формуласымен анықталады.

Біздің жағдайда $f(x) = \sin(6x)$, $a = 0$ және $b = \frac{\pi}{6}$. $x$ айнымалысы $0$-ден $\frac{\pi}{6}$-ке дейінгі мәндерді қабылдағанда, $6x$ аргументі $0$-ден $\pi$-ге дейін өзгереді. Бұл $[0, \pi]$ аралығында синус функциясы теріс емес, яғни $\sin(6x) \ge 0$. Сондықтан ауданды интеграл арқылы есептей аламыз:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(6x) \,dx$

Интегралды есептеу үшін алғашқы функцияны табамыз. $\sin(kx)$ функциясының алғашқы функциясы $-\frac{1}{k}\cos(kx)$ екені белгілі. Солай болса:

$\int \sin(6x) \,dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) + C$

Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, анықталған интегралды есептейміз:

$S = [-\frac{1}{6}\cos(6x)]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = (-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{6})) - (-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot 0))$

Шектік мәндерді қойып, өрнекті ықшамдаймыз:

$S = (-\frac{1}{6}\cos(\pi)) - (-\frac{1}{6}\cos(0))$

$\cos(\pi) = -1$ және $\cos(0) = 1$ екенін ескере отырып, соңғы есептеуді жүргіземіз:

$S = (-\frac{1}{6} \cdot (-1)) - (-\frac{1}{6} \cdot 1) = \frac{1}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и $y=g(x)$ на отрезке $[b; c]$, прямыми $x=a$, $x=c$ и осью $Ox$, необходимо вычислить сумму площадей двух криволинейных трапеций. Общая площадь $S$ находится как сумма определенных интегралов:

$S = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c g(x) \,dx$

Эта формула верна, если функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны на своих промежутках интегрирования.

1) $f(x) = x^2 + 2x + 3$, $[-2; 1]$ и $g(x) = x^2 - 2x + 7$, $[1; 2]$.

В данном случае $a = -2$, $b = 1$, $c = 2$.

Функция $f(x) = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$ всегда положительна, так как ее минимальное значение равно 2.

Функция $g(x) = x^2 - 2x + 7 = (x-1)^2 + 6$ также всегда положительна, так как ее минимальное значение равно 6.

Следовательно, искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \,dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \Big|_{-2}^{1}$

$= \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3(-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} + 1 + 3 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 4 - 6 \right) = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{13}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 7x \right) \Big|_{1}^{2} = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x \right) \Big|_{1}^{2}$

$= \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 7(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 7(1) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 4 + 14 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 7 \right) = \left( \frac{8}{3} + 10 \right) - \left( \frac{1}{3} + 6 \right) = \frac{38}{3} - \frac{19}{3} = \frac{19}{3}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = 9 + \frac{19}{3} = \frac{27}{3} + \frac{19}{3} = \frac{46}{3}$.

Ответ: $\frac{46}{3}$.

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 1$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 + 2x + 5$, $[-1; 1]$.

В данном случае $a = -3$, $b = -1$, $c = 1$.

Функция $f(x) = -x^2 - 4x - 1$. На отрезке $[-3; -1]$ ее вершина находится в точке $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2-4(-2)-1=3$. Значения на концах отрезка: $f(-3) = 2$, $f(-1) = 2$. Так как минимальное значение на отрезке равно 2, функция $f(x) \ge 0$ на $[-3; -1]$.

Функция $g(x) = -x^2 + 2x + 5$. На отрезке $[-1; 1]$ ее вершина находится в точке $x = 1$, $g(1) = -1^2+2(1)+5=6$. Значение на другом конце отрезка: $g(-1) = -(-1)^2+2(-1)+5=2$. Так как минимальное значение на отрезке равно 2, функция $g(x) \ge 0$ на $[-1; 1]$.

Искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) \,dx + \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) \,dx = \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} - x \right) \Big|_{-3}^{-1} = \left( -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right) \Big|_{-3}^{-1}$

$= \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - (9 - 15) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) \,dx = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 5x \right) \Big|_{-1}^{1} = \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Big|_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 5(1) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 5(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} + 1 + 5 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 5 \right) = \left( -\frac{1}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{17}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{17}{3} + \frac{11}{3} = \frac{28}{3}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = \frac{16}{3} + \frac{28}{3} = \frac{44}{3}$.

Ответ: $\frac{44}{3}$.

1) y = -x² + x + 6;
Фигураның ауданын табу үшін, алдымен параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін (түбірлерін) табамыз. Ол үшін $y = 0$ деп аламыз:
$-x^2 + x + 6 = 0$
Теңдеуді -1-ге көбейтеміз:
$x^2 - x - 6 = 0$
Бұл квадрат теңдеудің түбірлері: $x_1 = -2$ және $x_2 = 3$. Бұл интегралдау шектері болады. Парабола тармақтары төмен қарағандықтан ($a = -1 < 0$), фигура Ox осінен жоғары орналасқан.
Ауданды анықталған интеграл арқылы есептейміз:
$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6)dx$
Алғашқы функцияны табамыз:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$
Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз:
$S = F(3) - F(-2) = \left(-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2)\right)$
$S = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{8}{3} - 10\right)$
$S = \frac{27}{2} - \left(\frac{8-30}{3}\right) = \frac{27}{2} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$.
Ответ: $\frac{125}{6}$

2) y = -x² + 2x + 3;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Түбірлері: $x_1 = -1$ және $x_2 = 3$.
Ауданды интегралмен есептейміз:
$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(3) - F(-1) = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$
$S = (-9 + 9 + 9) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

3) y = -2(x - 1)² + 8;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-2(x - 1)^2 + 8 = 0$
$2(x - 1)^2 = 8$
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = \pm 2$
Түбірлері: $x_1 = 1 - 2 = -1$ және $x_2 = 1 + 2 = 3$.
Интегралдау үшін функцияны стандартты түрге келтіреміз: $y = -2(x^2 - 2x + 1) + 8 = -2x^2 + 4x - 2 + 8 = -2x^2 + 4x + 6$.
Ауданды есептейміз:
$S = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(3) - F(-1) = \left(-\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1)\right)$
$S = (-18 + 18 + 18) - \left(\frac{2}{3} + 2 - 6\right) = 18 - \left(\frac{2}{3} - 4\right) = 18 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$.
Ответ: $\frac{64}{3}$

4) y = -2(x - 3)² + 2;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-2(x - 3)^2 + 2 = 0$
$2(x - 3)^2 = 2$
$(x - 3)^2 = 1$
$x - 3 = \pm 1$
Түбірлері: $x_1 = 3 - 1 = 2$ және $x_2 = 3 + 1 = 4$.
Интегралдау үшін функцияны стандартты түрге келтіреміз: $y = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 = -2x^2 + 12x - 18 + 2 = -2x^2 + 12x - 16$.
Ауданды есептейміз:
$S = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{2x^3}{3} + 6x^2 - 16x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(4) - F(2) = \left(-\frac{2 \cdot 4^3}{3} + 6 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4\right) - \left(-\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 6 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2\right)$
$S = \left(-\frac{128}{3} + 96 - 64\right) - \left(-\frac{16}{3} + 24 - 32\right) = \left(32 - \frac{128}{3}\right) - \left(-8 - \frac{16}{3}\right)$
$S = \left(\frac{96 - 128}{3}\right) - \left(\frac{-24 - 16}{3}\right) = -\frac{32}{3} - \left(-\frac{40}{3}\right) = -\frac{32}{3} + \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

Решение

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos(5x)$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$, вычисляется с помощью определенного интеграла. По условию задано, что $d < \frac{\pi}{30}$, поэтому $d$ является нижним пределом интегрирования, а $\frac{\pi}{30}$ — верхним.

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{d}^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx$

Для того чтобы этот интеграл представлял геометрическую площадь, функция $y = \cos(5x)$ должна быть неотрицательной на всем интервале интегрирования. Функция $\cos(t)$ неотрицательна при $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Для нашей функции это означает, что $5x$ должно быть в этом диапазоне, то есть $x \in [-\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}]$. Так как верхний предел $x = \frac{\pi}{30}$ (что равносильно $5x = \frac{\pi}{6}$) находится внутри этого интервала, мы ищем такое значение $d$, при котором функция не меняет знак.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(5x)$: $F(x) = \int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x)$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: $S = \left[ \frac{1}{5}\sin(5x) \right]_{d}^{\frac{\pi}{30}} = \frac{1}{5}\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Упростим выражение, зная что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$: $S = \frac{1}{5}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

По условию задачи, площадь равна $0,2$. Составим и решим уравнение: $0,2 = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Переведем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10}$. $\frac{2}{10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Выразим $\sin(5d)$: $\frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{2}{10}$ $\frac{1}{5}\sin(5d) = -\frac{1}{10}$ $\sin(5d) = -\frac{1}{10} \cdot 5$ $\sin(5d) = -\frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического уравнения является $5d = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ — целое число. Учитывая, что $d < \frac{\pi}{30}$ ($5d < \frac{\pi}{6}$) и $d \ge -\frac{\pi}{10}$ ($5d \ge -\frac{\pi}{2}$), чтобы функция $\cos(5x)$ была неотрицательна, мы ищем решение в интервале $-\frac{\pi}{2} \le 5d < \frac{\pi}{6}$. Единственное подходящее значение из общего решения — это $5d = -\frac{\pi}{6}$ (соответствует $k=0$).

Найдем $d$: $5d = -\frac{\pi}{6}$ $d = -\frac{\pi}{30}$

Это значение удовлетворяет условию $d < \frac{\pi}{30}$, так как $-\frac{\pi}{30} < \frac{\pi}{30}$.

Ответ: $d = -\frac{\pi}{30}$

1) Даны функция $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, точка касания $x_0 = 1$ и вертикальная прямая $x = -2$.

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной касательной к графику функции в точке $x_0$, прямой $x=-2$ и осью Ox. Фигура представляет собой трапецию, ограниченную касательной, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=1$ и $x=a=-2$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 4,5 - 0,5 \cdot 1^2 = 4,5 - 0,5 = 4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4,5 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = -1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + (-1)(x - 1) = 4 - x + 1 = 5 - x$.

Итак, уравнение касательной: $y = 5 - x$.

2. Вычислим площадь искомой фигуры. Фигура ограничена прямыми $y = 5 - x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$. Площадь этой трапеции можно найти с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^{1} (5 - x) dx$.

Вычисляем интеграл:
$S = \left( 5x - \frac{x^2}{2} \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( 5 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 5 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2} \right) = \left( 5 - 0,5 \right) - \left( -10 - \frac{4}{2} \right) = 4,5 - (-10 - 2) = 4,5 - (-12) = 4,5 + 12 = 16,5$.

Альтернативный способ — по формуле площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$: $S = \frac{a+b}{2}h$. Основаниями трапеции являются отрезки вертикальных прямых $x=-2$ и $x=1$ от оси Ox до касательной. Высота — это расстояние между этими прямыми.
Основание $a = y(-2) = 5 - (-2) = 7$.
Основание $b = y(1) = 5 - 1 = 4$.
Высота $h = 1 - (-2) = 3$.
$S = \frac{7+4}{2} \cdot 3 = \frac{11}{2} \cdot 3 = 5,5 \cdot 3 = 16,5$.
Результаты совпадают.

Ответ: 16,5

2) Даны функция $f(x) = 8 - 0,5x^2$, точка касания $x_0 = -2$ и вертикальная прямая $x = 1$.

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной касательной к графику функции в точке $x_0$, прямой $x=1$ и осью Ox. Фигура представляет собой трапецию, ограниченную касательной, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=-2$ и $x=a=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = -2$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(-2) = 8 - 0,5 \cdot (-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Производная функции $f(x)$ (найдена в предыдущем пункте):
$f'(x) = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 6 + 2(x - (-2)) = 6 + 2(x + 2) = 6 + 2x + 4 = 2x + 10$.

Итак, уравнение касательной: $y = 2x + 10$.

2. Вычислим площадь искомой фигуры. Фигура ограничена прямыми $y = 2x + 10$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$. Площадь этой трапеции можно найти с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^{1} (2x + 10) dx$.

Вычисляем интеграл:
$S = \left( 2\frac{x^2}{2} + 10x \right) \Big|_{-2}^{1} = (x^2 + 10x) \Big|_{-2}^{1} = (1^2 + 10 \cdot 1) - ((-2)^2 + 10 \cdot (-2)) = (1 + 10) - (4 - 20) = 11 - (-16) = 11 + 16 = 27$.

Альтернативный способ — по формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.
Основания трапеции: $a = y(-2) = 2(-2) + 10 = 6$ и $b = y(1) = 2(1) + 10 = 12$.
Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.
$S = \frac{6+12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Результаты совпадают.

Ответ: 27