Номер 23, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin(6x)$ и осью абсцисс ($y=0$), необходимо вычислить определенный интеграл. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \sin(6x)$, $a = \frac{\pi}{18}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Проверим, что функция $f(x) = \sin(6x)$ неотрицательна на отрезке $[\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$.При $x \in [\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$, аргумент $6x$ находится в интервале $[6 \cdot \frac{\pi}{18}, 6 \cdot \frac{\pi}{12}]$, то есть $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале $\sin(6x)$ принимает значения от $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, следовательно, функция неотрицательна.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(6x) \,dx$

Первообразная для $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[-\frac{1}{6}\cos(6x)\right]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{18}\right)\right)$

$S = -\frac{1}{6}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми $y=0$ (ось абсцисс), $x = \frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$ и графиком функции $y = \cos(4x)$, также используем определенный интеграл.

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Здесь $f(x) = \cos(4x)$, $a = \frac{\pi}{24}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Проверим знак функции $f(x) = \cos(4x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$.При $x \in [\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$, аргумент $4x$ находится в интервале $[4 \cdot \frac{\pi}{24}, 4 \cdot \frac{\pi}{12}]$, то есть $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$. В этом интервале $\cos(4x)$ принимает значения от $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, следовательно, функция положительна.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} \cos(4x) \,dx$

Первообразная для $\cos(4x)$ равна $\frac{1}{4}\sin(4x)$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[\frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(\frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(\frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right)\right)$

$S = \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{3}-1}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{8}$