Номер 17, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin{2x} + \frac{1}{32}\sin{4x}$ первообразной для функции $f(x) = \sin^4{x}$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить её с $f(x)$.
Находим производную $F'(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin{2x} + \frac{1}{32}\sin{4x}\right)'$
$F'(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{4}(\cos{2x}) \cdot 2 + \frac{1}{32}(\cos{4x}) \cdot 4$
$F'(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x}$
Теперь преобразуем функцию $f(x) = \sin^4{x}$ с помощью формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:
$f(x) = (\sin^2{x})^2 = \left(\frac{1 - \cos{2x}}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4}$
Применим формулу понижения степени для косинуса $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ к члену $\cos^2{2x}$:
$f(x) = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos{2x} + \frac{1 + \cos{4x}}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 - 4\cos{2x} + 1 + \cos{4x}}{2}$
$f(x) = \frac{3 - 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} = \frac{3}{8} - \frac{4}{8}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x}$
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

2) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin{2x} + \frac{1}{32}\sin{4x}$ первообразной для функции $f(x) = \cos^4{x}$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить её с $f(x)$.
Находим производную $F'(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin{2x} + \frac{1}{32}\sin{4x}\right)'$
$F'(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4}(\cos{2x}) \cdot 2 + \frac{1}{32}(\cos{4x}) \cdot 4$
$F'(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x}$
Теперь преобразуем функцию $f(x) = \cos^4{x}$ с помощью формулы понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$:
$f(x) = (\cos^2{x})^2 = \left(\frac{1 + \cos{2x}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4}$
Применим формулу понижения степени еще раз к члену $\cos^2{2x}$:
$f(x) = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos{2x} + \frac{1 + \cos{4x}}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 4\cos{2x} + 1 + \cos{4x}}{2}$
$f(x) = \frac{3 + 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} = \frac{3}{8} + \frac{4}{8}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{1}{8}\cos{4x}$
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

3) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = |x^2 - 1| - 3x + 3$ первообразной для функции $f(x) = 2x - 3$ на промежутке $x \in (1; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ на этом промежутке.
На промежутке $(1; +\infty)$ выполняется неравенство $x > 1$, следовательно $x^2 > 1$, и выражение под знаком модуля $x^2 - 1$ положительно. Поэтому $|x^2 - 1| = x^2 - 1$ для $x \in (1; +\infty)$.
Тогда на заданном промежутке функция $F(x)$ имеет вид:
$F(x) = (x^2 - 1) - 3x + 3 = x^2 - 3x + 2$
Найдем производную этой функции:
$F'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$
Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = 2x - 3$ на промежутке $(1; +\infty)$.
Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на заданном промежутке.