Номер 12, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = x - \cos^{-2}x = x - \frac{1}{\cos^2x}$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi^2}{32})$.
Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ путем интегрирования:
$F(x) = \int (x - \frac{1}{\cos^2x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{\cos^2x} dx = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + C$.
Чтобы найти константу $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M$. Это означает, что $F(a) = b$, или в нашем случае $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{32}$.
Подставим значения $x = \frac{\pi}{4}$ и $F(x) = \frac{\pi^2}{32}$ в уравнение для $F(x)$:
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C$
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2/16}{2} - 1 + C$
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2}{32} - 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -1 + C \implies C = 1$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + 1$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^{-2}x - x = \frac{2}{\sin^2x} - x$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2x} - x) dx = 2\int \frac{1}{\sin^2x} dx - \int x dx = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + C$.
Используем координаты точки $M(x = \frac{\pi}{4}, F(x) = -\frac{\pi^2}{32})$ для определения $C$:
$-\frac{\pi^2}{32} = -2\cot(\frac{\pi}{4}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} + C$
$-\frac{\pi^2}{32} = -2(1) - \frac{\pi^2/16}{2} + C$
$-\frac{\pi^2}{32} = -2 - \frac{\pi^2}{32} + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -2 + C \implies C = 2$.
Искомая первообразная: $F(x) = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + 2$.
Ответ: $F(x) = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + 2$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-3} + \cos x = \frac{1}{x^3} + \cos x$ и точка $M(0.5\pi; -\frac{1}{2\pi})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^{-3} + \cos x) dx = \int x^{-3} dx + \int \cos x dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \sin x + C = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + C$.
Используем координаты точки $M(x = 0.5\pi = \frac{\pi}{2}, F(x) = -\frac{1}{2\pi})$ для определения $C$:
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{1}{2(\frac{\pi}{2})^2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C$
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{1}{2(\pi^2/4)} + 1 + C$
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{2}{\pi^2} + 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$C = \frac{2}{\pi^2} - 1 - \frac{1}{2\pi}$.
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - 1$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - 1$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - \sin x$ и точка $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^3 - \sin x) dx = \int x^3 dx - \int \sin x dx = \frac{x^4}{4} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C$.
Используем координаты точки $M(x = \pi, F(x) = \frac{\pi^4}{4})$ для определения $C$:
$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} + \cos(\pi) + C$
$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} - 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -1 + C \implies C = 1$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.