Номер 15, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения данного интеграла воспользуемся свойством аддитивности интеграла, то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

$\int (\cos(4x - 5) + 2x^{-7} + 3) dx = \int \cos(4x - 5) dx + \int 2x^{-7} dx + \int 3 dx$

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

Для первого интеграла $\int \cos(4x - 5) dx$ применим формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C$. В нашем случае $k=4$, $b=-5$.

$\int \cos(4x - 5) dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 5)$

Для второго интеграла $\int 2x^{-7} dx$ используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 2x^{-7} dx = 2 \int x^{-7} dx = 2 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} = 2 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{3}x^{-6} = -\frac{1}{3x^6}$

Третий интеграл $\int 3 dx$ - это интеграл от константы, равный $3x$.

Суммируем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную интегрирования $C$:

$\frac{1}{4}\sin(4x - 5) - \frac{1}{3x^6} + 3x + C$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin(4x - 5) - \frac{1}{3x^6} + 3x + C$

2) Используем свойство аддитивности интеграла:

$\int (\sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2 5x}) dx = \int \sin(2 - x) dx + \int \frac{1}{\cos^2 5x} dx$

Найдем каждый интеграл по отдельности:

Для первого интеграла $\int \sin(2 - x) dx$ используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$. Здесь $k=-1$, $b=2$.

$\int \sin(2 - x) dx = -\frac{1}{-1}\cos(2 - x) = \cos(2 - x)$

Для второго интеграла $\int \frac{1}{\cos^2 5x} dx$ используем формулу $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx)+C$. Здесь $k=5$.

$\int \frac{1}{\cos^2 5x} dx = \frac{1}{5}\tan(5x)$

Складываем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$\cos(2 - x) + \frac{1}{5}\tan(5x) + C$

Ответ: $\cos(2 - x) + \frac{1}{5}\tan(5x) + C$

3) Разложим интеграл на сумму и разность интегралов:

$\int (\frac{24}{\cos^2 2x} - \frac{2}{x^4} + \sqrt{3}) dx = \int \frac{24}{\cos^2 2x} dx - \int \frac{2}{x^4} dx + \int \sqrt{3} dx$

Вычислим каждый интеграл:

Первый интеграл: $\int \frac{24}{\cos^2 2x} dx = 24 \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx$. По формуле $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx)+C$ с $k=2$.

$24 \cdot \frac{1}{2}\tan(2x) = 12\tan(2x)$

Второй интеграл: $\int \frac{2}{x^4} dx = 2 \int x^{-4} dx$. Используем формулу для степенной функции.

$2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3}x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}$

Третий интеграл: $\int \sqrt{3} dx = \sqrt{3}x$, так как $\sqrt{3}$ - константа.

Собираем все части вместе, учитывая знаки, и добавляем константу $C$:

$12\tan(2x) - (-\frac{2}{3x^3}) + \sqrt{3}x + C = 12\tan(2x) + \frac{2}{3x^3} + \sqrt{3}x + C$

Ответ: $12\tan(2x) + \frac{2}{3x^3} + \sqrt{3}x + C$

4) Разделим интеграл на три части:

$\int (\frac{1}{\sqrt{2x}} - \frac{3}{\sin^2 2x} - x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx - \int \frac{3}{\sin^2 2x} dx - \int x dx$

Вычислим каждый интеграл:

Первый интеграл: $\int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx = \int (2x)^{-\frac{1}{2}} dx$. Это интеграл вида $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1}+C$. Здесь $k=2, b=0, n=-1/2$.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = (2x)^{\frac{1}{2}} + C_1 = \sqrt{2x}$

Второй интеграл: $\int \frac{3}{\sin^2 2x} dx = 3 \int \frac{1}{\sin^2 2x} dx$. Используем формулу $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx)+C$ с $k=2$.

$3 \cdot (-\frac{1}{2}\cot(2x)) = -\frac{3}{2}\cot(2x)$

Третий интеграл: $\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Объединяем результаты и добавляем константу $C$:

$\sqrt{2x} - (-\frac{3}{2}\cot(2x)) - \frac{x^2}{2} + C = \sqrt{2x} + \frac{3}{2}\cot(2x) - \frac{x^2}{2} + C$

Ответ: $\sqrt{2x} + \frac{3}{2}\cot(2x) - \frac{x^2}{2} + C$