Номер 8, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = 9x^2 + \sin{3x}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ дается формулой $F(x) = \int f(x) \,dx$.
$F(x) = \int (9x^2 + \sin{3x}) \,dx = \int 9x^2 \,dx + \int \sin{3x} \,dx$.
Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов:
Первый интеграл: $\int 9x^2 \,dx = 9 \int x^2 \,dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.
Второй интеграл: $\int \sin{3x} \,dx = -\frac{1}{3}\cos{3x}$.
Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:
$F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos{3x} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos{3x} + C$.

2) Для функции $f(x) = 12x^3 - \cos{4x}$ находим первообразную $F(x)$ путем интегрирования:
$F(x) = \int (12x^3 - \cos{4x}) \,dx = \int 12x^3 \,dx - \int \cos{4x} \,dx$.
Вычислим каждый интеграл:
$\int 12x^3 \,dx = 12 \int x^3 \,dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$.
$\int \cos{4x} \,dx = \frac{1}{4}\sin{4x}$.
Объединяя результаты и добавляя константу $C$, получаем:
$F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin{4x} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin{4x} + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos{2x} - \frac{1}{\sqrt{2x - 3}} + 2$ находим первообразную $F(x)$.
$F(x) = \int (\cos{2x} - \frac{1}{\sqrt{2x - 3}} + 2) \,dx = \int \cos{2x} \,dx - \int (2x - 3)^{-1/2} \,dx + \int 2 \,dx$.
Вычислим интегралы по частям:
$\int \cos{2x} \,dx = \frac{1}{2}\sin{2x}$.
Для второго интеграла используем формулу $\int (ax+b)^n \,dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$:$\int (2x - 3)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{2x - 3}$.
Третий интеграл: $\int 2 \,dx = 2x$.
Собираем все части вместе и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{1}{2}\sin{2x} - \sqrt{2x - 3} + 2x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin{2x} - \sqrt{2x - 3} + 2x + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5 - 2x}} + \sin{5x} + 1$ находим первообразную $F(x)$.
$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}} + \sin{5x} + 1) \,dx = \int (5 - 2x)^{-1/2} \,dx + \int \sin{5x} \,dx + \int 1 \,dx$.
Вычисляем каждый интеграл:
Для первого интеграла используем формулу $\int (ax+b)^n \,dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$:$\int (5 - 2x)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(5 - 2x)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(5 - 2x)^{1/2}}{1/2} = -\sqrt{5 - 2x}$.
Второй интеграл: $\int \sin{5x} \,dx = -\frac{1}{5}\cos{5x}$.
Третий интеграл: $\int 1 \,dx = x$.
Объединяем все части и добавляем константу $C$:
$F(x) = -\sqrt{5 - 2x} - \frac{1}{5}\cos{5x} + x + C$.
Ответ: $F(x) = -\sqrt{5 - 2x} - \frac{1}{5}\cos{5x} + x + C$.