Номер 5, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = x + 1, M(-2; 3)$

Сначала находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x + 1$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(-2; 3)$. Это означает, что при $x = -2$, значение функции $F(x)$ должно быть равно 3, то есть $F(-2) = 3$. Подставим эти значения в найденную формулу для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$3 = \frac{(-2)^2}{2} + (-2) + C$

$3 = \frac{4}{2} - 2 + C$

$3 = 2 - 2 + C$

$C = 3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (1/2)} = -1$

$y_0 = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 2.5)$. График также проходит через заданную точку $M(-2; 3)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 3)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$

2) $f(x) = 4 + x, M(-2; 3)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = 4 + x$:

$F(x) = \int (4 + x) dx = 4x + \frac{x^2}{2} + C$

Используем условие, что график проходит через точку $M(-2; 3)$, т.е. $F(-2) = 3$:

$3 = 4(-2) + \frac{(-2)^2}{2} + C$

$3 = -8 + \frac{4}{2} + C$

$3 = -8 + 2 + C$

$3 = -6 + C$

$C = 9$

Искомая первообразная:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$

График этой функции — парабола с ветвями вверх. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (1/2)} = -4$

$y_0 = F(-4) = \frac{(-4)^2}{2} + 4(-4) + 9 = 8 - 16 + 9 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 1)$. График проходит через точку $M(-2; 3)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 9)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$

3) $f(x) = \sin x, M(\frac{\pi}{2}; 1)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, значит $F(\frac{\pi}{2}) = 1$:

$1 = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C$

$1 = -0 + C$

$C = 1$

Искомая первообразная:

$F(x) = 1 - \cos x$

График этой функции — косинусоида, отраженная относительно оси абсцисс и смещенная вверх на 1. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0; 0)$, $(\frac{\pi}{2}; 1)$ (точка M), $(\pi; 2)$, $(\frac{3\pi}{2}; 1)$, $(2\pi; 0)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = 1 - \cos x$

4) $f(x) = \cos x, M(\pi; -1)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos x$:

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$

График проходит через точку $M(\pi; -1)$, значит $F(\pi) = -1$:

$-1 = \sin(\pi) + C$

$-1 = 0 + C$

$C = -1$

Искомая первообразная:

$F(x) = \sin x - 1$

График этой функции — синусоида, смещенная вниз на 1. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0; -1)$, $(\frac{\pi}{2}; 0)$, $(\pi; -1)$ (точка M), $(\frac{3\pi}{2}; -2)$, $(2\pi; -1)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \sin x - 1$