Номер 17, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $y = \frac{x^2}{1-x}$.
Вертикальные асимптоты.
Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции. Знаменатель дроби обращается в ноль при $1-x=0$, то есть при $x=1$.
Найдем односторонние пределы функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{1-x} = \frac{1^2}{1 - (1-0)} = \frac{1}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{1-x} = \frac{1^2}{1 - (1+0)} = \frac{1}{-0} = -\infty$
Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Ищем асимптоту в виде прямой $y = kx+b$.
Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому у графика функции есть наклонная асимптота и нет горизонтальной.
Коэффициенты $k$ и $b$ находим по формулам:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(1-x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\frac{1}{x}-1} = \frac{1}{-1} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{1-x} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{1-x} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + x(1-x)}{1-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+x-x^2}{1-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1-x} = -1$
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -x-1$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$; наклонная асимптота: $y = -x - 1$.

2) Дана функция $y = \frac{3-x^2}{x+1}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель обращается в ноль при $x+1=0$, то есть при $x=-1$. Числитель в этой точке $3 - (-1)^2 = 2 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2}{x^2+x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{3}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x}} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3-x^2}{x+1} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3-x^2+x(x+1)}{x+1}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2+x^2+x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+3}{x+1} = 1$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x+1$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$; наклонная асимптота: $y = -x + 1$.

3) Дана функция $y = \frac{2x^3 - 3x}{x^2 - 1}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель $x^2-1=0$ при $x=1$ и $x=-1$.
Проверим значения числителя в этих точках:
При $x=1$: $2(1)^3 - 3(1) = -1 \neq 0$.
При $x=-1$: $2(-1)^3 - 3(-1) = -2+3 = 1 \neq 0$.
Так как числитель не равен нулю, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x}{x^3-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}} = 2$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3-3x}{x^2-1} - 2x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x-2x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x-2x^3+2x}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{x^2-1} = 0$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = 2x$.
Ответ: Вертикальные асимптоты: $x=1$, $x=-1$; наклонная асимптота: $y = 2x$.

4) Дана функция $y = \frac{x^3 + 2x^2 - 5}{4 - x^2}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель $4-x^2=0$ при $x=2$ и $x=-2$.
Проверим значения числителя в этих точках:
При $x=2$: $2^3 + 2(2^2) - 5 = 8+8-5 = 11 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^3 + 2(-2)^2 - 5 = -8+8-5 = -5 \neq 0$.
Следовательно, прямые $x=2$ и $x=-2$ являются вертикальными асимптотами.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5}{x(4-x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5}{4x-x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}}{\frac{4}{x^2}-1} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3+2x^2-5}{4-x^2} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5+x(4-x^2)}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5+4x-x^3}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+4x-5}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}{\frac{4}{x^2}-1} = -2$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x-2$.
Ответ: Вертикальные асимптоты: $x=2$, $x=-2$; наклонная асимптота: $y = -x - 2$.