Номер 10, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Берілген функция $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$.

Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (2x^2 + 3x + 2)' = 2 \cdot 2x + 3 = 4x + 3$.

Енді $f(x) + f'(x) = 0$ теңдеуін құрастырып, шешеміз:

$(2x^2 + 3x + 2) + (4x + 3) = 0$

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$2x^2 + (3x + 4x) + (2 + 3) = 0$

$2x^2 + 7x + 5 = 0$

Бұл квадрат теңдеуді дискриминант арқылы шешеміз:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Теңдеудің түбірлері:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-2.5; -1$.

2) Берілген функция $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (3x^2 + 18x + 8)' = 3 \cdot 2x + 18 = 6x + 18$.

Енді $f(x) - f'(x) < 0$ теңсіздігін құрастырып, шешеміз:

$(3x^2 + 18x + 8) - (6x + 18) < 0$

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$3x^2 + 18x + 8 - 6x - 18 < 0$

$3x^2 + 12x - 10 < 0$

Теңсіздікті шешу үшін алдымен сәйкес квадрат теңдеудің түбірлерін табамыз: $3x^2 + 12x - 10 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 144 + 120 = 264$

Түбірлер:

$x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 66}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{3}$

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$ және $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$.

$3x^2 + 12x - 10 < 0$ теңсіздігі үшін параболаның тармақтары жоғары бағытталғандықтан ($a=3>0$), шешімдер аралығы түбірлердің арасында болады: $x \in (\frac{-6 - \sqrt{66}}{3}; \frac{-6 + \sqrt{66}}{3})$.

Аралықтың шекараларын жуықтап бағалайық. $\sqrt{64} = 8$ және $\sqrt{81} = 9$ болғандықтан, $\sqrt{66} \approx 8.12$.

$x_1 \approx \frac{-6 - 8.12}{3} = \frac{-14.12}{3} \approx -4.71$

$x_2 \approx \frac{-6 + 8.12}{3} = \frac{2.12}{3} \approx 0.71$

Сонымен, теңсіздіктің шешімі $x \in (-4.71; 0.71)$ аралығында жатыр.

Осы аралыққа кіретін бүтін сандар: -4, -3, -2, -1, 0.

Бұл сандардың ішіндегі ең үлкені 0 болады.

Ответ: 0.