Номер 12, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Берілген функциялар: $f(x) = x^2 - 6x + 5$ және $g(x) = -x^2$.

Екі графикке ортақ жанаманың теңдеуін $y = kx + b$ түрінде іздейміз.

Бірінші $f(x) = x^2 - 6x + 5$ функциясы үшін $x_1$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуін табайық. Функцияның туындысы: $f'(x) = 2x - 6$.

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = f'(x_1) = 2x_1 - 6$.

Жанаманың жалпы теңдеуі $y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1)$. Осыдан $y = (x_1^2 - 6x_1 + 5) + (2x_1 - 6)(x - x_1)$.

Теңдеуді $y = kx + b$ түріне келтіреміз:

$y = (2x_1 - 6)x - x_1(2x_1 - 6) + x_1^2 - 6x_1 + 5$

$y = (2x_1 - 6)x - 2x_1^2 + 6x_1 + x_1^2 - 6x_1 + 5$

$y = (2x_1 - 6)x - x_1^2 + 5$

Олай болса, $k = 2x_1 - 6$ және $b = -x_1^2 + 5$.

Екінші $g(x) = -x^2$ функциясы үшін $x_2$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуін табайық. Функцияның туындысы: $g'(x) = -2x$.

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = g'(x_2) = -2x_2$.

Жанаманың теңдеуі: $y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = -x_2^2 - 2x_2(x - x_2)$.

$y = -2x_2 x + 2x_2^2 - x_2^2 = -2x_2 x + x_2^2$

Олай болса, $k = -2x_2$ және $b = x_2^2$.

Ортақ жанама үшін $k$ және $b$ мәндері бірдей болуы керек. Сондықтан теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. $2x_1 - 6 = -2x_2$

2. $-x_1^2 + 5 = x_2^2$

Бірінші теңдеуден $x_2$ өрнегін табамыз: $x_1 - 3 = -x_2$, яғни $x_2 = 3 - x_1$.

Енді $x_2$ мәнін екінші теңдеуге қоямыз:

$-x_1^2 + 5 = (3 - x_1)^2$

$-x_1^2 + 5 = 9 - 6x_1 + x_1^2$

$2x_1^2 - 6x_1 + 4 = 0$

Теңдеуді 2-ге бөлеміз: $x_1^2 - 3x_1 + 2 = 0$.

Бұл квадрат теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_1 = 2$. Демек, екі ортақ жанама бар.

1-жағдай: $x_1 = 1$.

$k = 2(1) - 6 = -4$.

$b = -(1)^2 + 5 = 4$.

Бірінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = -4x + 4$.

2-жағдай: $x_1 = 2$.

$k = 2(2) - 6 = -2$.

$b = -(2)^2 + 5 = 1$.

Екінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = -4x + 4$ және $y = -2x + 1$.

2)

Берілген функциялар: $f(x) = -x^2 + 6x - 2$ және $g(x) = 4x^2$.

Ортақ жанаманың теңдеуін $y = kx + b$ деп алайық.

Бірінші $f(x) = -x^2 + 6x - 2$ функциясы үшін $x_1$ нүктесіндегі жанаманы қарастырайық. Туындысы: $f'(x) = -2x + 6$.

Жанаманың коэффициенттері: $k = f'(x_1) = -2x_1 + 6$.

$b = f(x_1) - f'(x_1)x_1 = (-x_1^2 + 6x_1 - 2) - (-2x_1 + 6)x_1 = -x_1^2 + 6x_1 - 2 + 2x_1^2 - 6x_1 = x_1^2 - 2$.

Сонымен, $k = -2x_1 + 6$ және $b = x_1^2 - 2$.

Екінші $g(x) = 4x^2$ функциясы үшін $x_2$ нүктесіндегі жанаманы қарастырайық. Туындысы: $g'(x) = 8x$.

Жанаманың коэффициенттері: $k = g'(x_2) = 8x_2$.

$b = g(x_2) - g'(x_2)x_2 = 4x_2^2 - (8x_2)x_2 = 4x_2^2 - 8x_2^2 = -4x_2^2$.

Сонымен, $k = 8x_2$ және $b = -4x_2^2$.

Ортақ жанама үшін коэффициенттерді теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз:

1. $-2x_1 + 6 = 8x_2$

2. $x_1^2 - 2 = -4x_2^2$

Бірінші теңдеуден $x_2$ табамыз: $x_2 = \frac{-2x_1 + 6}{8} = \frac{3 - x_1}{4}$.

Осыны екінші теңдеуге қоямыз:

$x_1^2 - 2 = -4 \left(\frac{3 - x_1}{4}\right)^2 = -4 \frac{(3 - x_1)^2}{16} = -\frac{(3 - x_1)^2}{4}$

$4(x_1^2 - 2) = -(9 - 6x_1 + x_1^2)$

$4x_1^2 - 8 = -9 + 6x_1 - x_1^2$

$5x_1^2 - 6x_1 + 1 = 0$

Бұл квадрат теңдеуді шешеміз. Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4(5)(1) = 36 - 20 = 16$.

$x_{1,1} = \frac{6 + \sqrt{16}}{10} = \frac{6 + 4}{10} = 1$.

$x_{1,2} = \frac{6 - \sqrt{16}}{10} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Екі ортақ жанама бар.

1-жағдай: $x_1 = 1$.

$k = -2(1) + 6 = 4$.

$b = (1)^2 - 2 = -1$.

Бірінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = 4x - 1$.

2-жағдай: $x_1 = \frac{1}{5}$.

$k = -2\left(\frac{1}{5}\right) + 6 = -\frac{2}{5} + \frac{30}{5} = \frac{28}{5}$.

$b = \left(\frac{1}{5}\right)^2 - 2 = \frac{1}{25} - \frac{50}{25} = -\frac{49}{25}$.

Екінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = \frac{28}{5}x - \frac{49}{25}$.

Ответ: $y = 4x - 1$ және $y = \frac{28}{5}x - \frac{49}{25}$.