Номер 11, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ используется формула:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Дана функция $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 12 = 3 - 5 + 12 = 10$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3x^2 - 5x + 12)' = 6x - 5$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 6(1) - 5 = 1$.
4. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 1 \cdot (x - 1)$
$y = 10 + x - 1$
$y = x + 9$.
Ответ: $y = x + 9$.

2)Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{1 + 2x^2}}{x^3}$ и точка $x_0 = -2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{\sqrt{1 + 2(-2)^2}}{(-2)^3} = \frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 4}}{-8} = \frac{\sqrt{9}}{-8} = -\frac{3}{8}$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{1+2x^2})' \cdot x^3 - \sqrt{1+2x^2} \cdot (x^3)'}{(x^3)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+2x^2}} \cdot 4x \cdot x^3 - 3x^2\sqrt{1+2x^2}}{x^6} = \frac{\frac{2x^4}{\sqrt{1+2x^2}} - 3x^2\sqrt{1+2x^2}}{x^6}$
$f'(x) = \frac{2x^4 - 3x^2(1+2x^2)}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = \frac{2x^4 - 3x^2 - 6x^4}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = \frac{-4x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{1+2x^2}}$
$f'(x) = \frac{-x^2(4x^2+3)}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = -\frac{4x^2+3}{x^4\sqrt{1+2x^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = -\frac{4(-2)^2+3}{(-2)^4\sqrt{1+2(-2)^2}} = -\frac{4 \cdot 4+3}{16\sqrt{1+8}} = -\frac{19}{16\sqrt{9}} = -\frac{19}{16 \cdot 3} = -\frac{19}{48}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x + 2)$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}x - \frac{38}{48} = -\frac{19}{48}x - \frac{3}{8} - \frac{19}{24}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{9}{24} - \frac{19}{24} = -\frac{19}{48}x - \frac{28}{24} = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

3)Дана функция $f(x) = 3 - \sqrt{x} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x)$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 3 - \sqrt{1} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi \cdot 1) = 3 - 1 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 2$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3 - \sqrt{x} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x))' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot (\pi x)'$
$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot \pi = -\frac{1}{2\sqrt{x}} - 2\cos(\pi x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{1}} - 2\cos(\pi \cdot 1) = -\frac{1}{2} - 2\cos(\pi) = -\frac{1}{2} - 2(-1) = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.