Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. Уравнение $\frac{2}{(x+1)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 2. Производная не определена в точке $x=-1$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знак производной на области определения. Числитель $2$ положителен. Знаменатель $(x+1)^2$ положителен для всех $x \neq -1$. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; интервалов убывания нет.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x-2}$

1. Область определения функции: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2}{x-2}\right)' = \frac{(x^2)'(x-2) - x^2(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x(x-4)}{(x-2)^2} = 0 \implies x(x-4) = 0$. Отсюда критические точки: $x_1=0$ и $x_2=4$. Производная не определена в точке $x=2$, которая является точкой разрыва функции.

4. Точки $x=0, x=2, x=4$ разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак $f'(x)$ в каждом интервале. Знак производной зависит от знака числителя $x(x-4)$, так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен.

- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(2; 4)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$; интервалы убывания: $[0; 2)$ и $(2; 4]$.

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

1. Область определения функции: $25-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25 \implies x \neq \pm 5$. $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x}{25-x^2}\right)' = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{x^2+25}{(25-x^2)^2} = 0$, не имеет действительных решений, так как числитель $x^2+25$ всегда больше нуля. Производная не определена при $x=\pm 5$, но эти точки не входят в область определения.

4. Определим знак производной. Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ также всегда положителен на области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in D(f)$.

Функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$; интервалов убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1. Область определения функции: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2-9}{x^2-4}\right)' = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x-(2x^3-18x)}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \implies \frac{10x}{(x^2-4)^2} = 0 \implies 10x=0 \implies x=0$. Точки разрыва: $x=\pm 2$.

4. Точки $x=-2, x=0, x=2$ разбивают числовую прямую на интервалы. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $10x$, так как знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен.

- На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$: $10x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервалах $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$: $10x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: интервалы возрастания: $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$; интервалы убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$.

5) $f(x) = 4\sqrt{x}(2-x)$

1. Область определения функции: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Для удобства раскроем скобки: $f(x) = 8\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} = 8x^{1/2} - 4x^{3/2}$. Найдем производную:

$f'(x) = (8x^{1/2} - 4x^{3/2})' = 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 4x^{-1/2} - 6x^{1/2} = \frac{4}{\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{4-6x}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. $f'(x) = 0 \implies 4-6x=0 \implies x=4/6 = 2/3$. Производная не определена при $x=0$, это граничная точка области определения.

4. Точки $x=0$ и $x=2/3$ определяют интервалы $[0; 2/3)$ и $(2/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $4-6x$.

- На интервале $(0; 2/3)$: $4-6x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(2/3; +\infty)$: $4-6x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: интервал возрастания: $[0; 2/3]$; интервал убывания: $[2/3; +\infty)$.

6) $f(x) = 4\sqrt{x+1}(3-x)$

1. Область определения функции: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. $D(f) = [-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$f'(x) = (4\sqrt{x+1})'(3-x) + 4\sqrt{x+1}(3-x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot (3-x) + 4\sqrt{x+1} \cdot (-1) = \frac{2(3-x)}{\sqrt{x+1}} - 4\sqrt{x+1}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(3-x) - 4\sqrt{x+1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} = \frac{6-2x - 4(x+1)}{\sqrt{x+1}} = \frac{6-2x-4x-4}{\sqrt{x+1}} = \frac{2-6x}{\sqrt{x+1}}$.

3. Найдем критические точки. $f'(x) = 0 \implies 2-6x=0 \implies x=2/6=1/3$. Производная не определена при $x=-1$, это граничная точка области определения.

4. Точки $x=-1$ и $x=1/3$ определяют интервалы $[-1; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $2-6x$.

- На интервале $(-1; 1/3)$: $2-6x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(1/3; +\infty)$: $2-6x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: интервал возрастания: $[-1; 1/3]$; интервал убывания: $[1/3; +\infty)$.