Вопросы, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Туынды және алғашқы функция ұғымдарының арасында қандай байланыс бар?

Туынды және алғашқы функция ұғымдары математикалық анализдегі бір-біріне кері операцияларды білдіретін іргелі ұғымдар болып табылады. Олардың арасындағы байланыс келесідей:

Егер $F(x)$ функциясы берілген аралықта $f(x)$ функциясы үшін алғашқы функция болса, онда сол аралықтағы әрбір $x$ үшін $F'(x) = f(x)$ теңдігі орындалады. Яғни, алғашқы функциядан алынған туынды бастапқы функцияға тең болады.

Керісінше, $f(x)$ функциясын интегралдау процесі оның алғашқы функциясы $F(x)$-ті табуды білдіреді, яғни $\int f(x)dx = F(x) + C$. Мұндағы $C$ — кез келген тұрақты сан.

Бұл екі операцияның арасындағы тығыз байланысты анализдің негізгі теоремасы, атап айтқанда, Ньютон-Лейбниц формуласы көрсетеді: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$. Бұл формула анықталған интегралды алғашқы функция арқылы есептеуге мүмкіндік береді.

Қорытындылай айтқанда, дифференциалдау (туынды табу) және интегралдау (алғашқы функцияны табу) — өзара кері математикалық амалдар.

Ответ: Туынды мен алғашқы функция — бір-біріне кері амалдар. Алғашқы функцияның туындысы бастапқы функцияға тең, ал функцияны интегралдау оның алғашқы функциясын табу болып табылады.

2. Жұп (тақ) функцияның алғашқы функциясы жұп (тақ) функция бола ма? Мысал келтіріндер.

Бұл сұрақты жұп және тақ функциялар үшін бөлек қарастыру керек.

Тақ функция үшін: Егер $f(x)$ тақ функция болса (яғни, $f(-x) = -f(x)$), онда оның кез келген алғашқы функциясы $F(x)$ жұп функция болады.
Мысал: $f(x) = \sin x$ — тақ функция. Оның алғашқы функциясы $F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$. $\cos x$ функциясы жұп болғандықтан, $-\cos x$ функциясы да жұп болады. Тұрақты санды қосу функцияның жұптылығын өзгертпейді, сондықтан $F(x) = -\cos x + C$ функциясы кез келген $C$ үшін жұп болып табылады, себебі $F(-x) = -\cos(-x) + C = -\cos x + C = F(x)$.

Жұп функция үшін: Егер $f(x)$ жұп функция болса (яғни, $f(-x) = f(x)$), оның алғашқы функциясы жалпы жағдайда жұп та, тақ та болмайды. Дегенмен, оның алғашқы функцияларының ішінде интегралдау тұрақтысы нөлге тең ($C=0$) болғанда тақ болатын бір ғана алғашқы функция бар.
Мысал: $f(x) = x^2$ — жұп функция. Оның алғашқы функциясы $F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
Егер $C=0$ болса, $F(x) = \frac{x^3}{3}$ функциясы тақ болады, себебі $F(-x) = \frac{(-x)^3}{3} = -\frac{x^3}{3} = -F(x)$.
Ал егер $C \neq 0$ (мысалы, $C=5$) болса, $F(x) = \frac{x^3}{3} + 5$ функциясы жұп та, тақ та емес, себебі $F(-x) = -\frac{x^3}{3} + 5$, бұл $F(x)$-ке де, $-F(x)$-ке де тең емес.

Ответ: Тақ функцияның алғашқы функциясы әрқашан жұп функция болады. Жұп функцияның алғашқы функциясы тек интегралдау тұрақтысы нөлге тең болғанда ғана тақ функция болады, ал басқа жағдайларда жұп та, тақ та емес.

3. Алғашқы функцияны табудың үш ережесін бірдей қолдануға нақты мысал келтіріндер.

Алғашқы функцияны табудың негізгі үш ережесін еске түсірейік:
1. Қосындының ережесі: $\int (u(x) + v(x))dx = \int u(x)dx + \int v(x)dx$.
2. Тұрақты көбейткішті шығару ережесі: $\int k \cdot f(x)dx = k \int f(x)dx$.
3. Дәрежелік функцияны интегралдау ережесі: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Осы үш ережені бір мезгілде қолданатын мысал ретінде $f(x) = 5x^4 - 8x + 3$ көпмүшесінің алғашқы функциясын табайық.
$F(x) = \int (5x^4 - 8x + 3)dx$.

1. Қосынды ережесін қолданамыз:
$F(x) = \int 5x^4 dx - \int 8x dx + \int 3 dx$.

2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығарамыз:
$F(x) = 5 \int x^4 dx - 8 \int x^1 dx + 3 \int x^0 dx$.

3. Әрбір мүшеге дәрежелік функцияны интегралдау ережесін қолданамыз:
$F(x) = 5 \left(\frac{x^{4+1}}{4+1}\right) - 8 \left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right) + 3 \left(\frac{x^{0+1}}{0+1}\right) + C$.

Нәтижені ықшамдаймыз:
$F(x) = 5 \left(\frac{x^5}{5}\right) - 8 \left(\frac{x^2}{2}\right) + 3(x) + C = x^5 - 4x^2 + 3x + C$.

Осылайша, бұл мысалда алғашқы функцияны табудың үш негізгі ережесі де қолданылды.

Ответ: Мысал, $f(x) = 5x^4 - 8x + 3$ функциясының алғашқы функциясы $F(x) = x^5 - 4x^2 + 3x + C$ болады, оны табу үшін қосынды, тұрақты көбейткіш және дәрежелік функцияны интегралдау ережелері қолданылады.

4. 1) $[a; b]$ кесіндісінде $f'(x) = p'(x)$; 2) $[a; b]$ кесіндісінде $\int f(x)dx = \int p(x)dx$ болатыны белгілі. Бұдан берілген кесіндіде $f(x) = p(x)$ теңдігі шыға ма?

1) $f'(x) = p'(x)$ шартынан $f(x) = p(x)$ теңдігі шыға ма?

Жоқ, шықпайды. Егер екі функцияның туындылары бірдей болса, бұл функциялар бір-бірінен тұрақты санға ғана ерекшеленуі мүмкін.
$f'(x) = p'(x)$ теңдігінен $(f(x) - p(x))' = 0$ екені шығады. Туындысы нөлге тең болатын функция — тұрақты функция. Демек, $f(x) - p(x) = C$, мұндағы $C$ — кез келген тұрақты сан. Сонда $f(x) = p(x) + C$. Егер $C \neq 0$ болса, $f(x) \neq p(x)$.
Мысал: $f(x) = x^2+7$ және $p(x) = x^2$ функцияларын қарастырайық. Олардың туындылары $f'(x)=2x$ және $p'(x)=2x$, яғни $f'(x)=p'(x)$. Алайда, функциялардың өздері тең емес: $x^2+7 \neq x^2$.
Ответ: Жоқ, шықпайды.

2) $\int f(x)dx = \int p(x)dx$ шартынан $f(x) = p(x)$ теңдігі шыға ма?

Иә, шығады. $\int f(x)dx$ белгісі $f(x)$ функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын білдіреді. $\int f(x)dx = \int p(x)dx$ теңдігі $f(x)$ және $p(x)$ функцияларының алғашқы функциялар жиындарының бірдей екенін көрсетеді. Егер екі функцияның барлық алғашқы функцияларының жиыны бірдей болса, онда бұл функциялардың өздері де тең болуы керек.
Мұны теңдіктің екі жағын да дифференциалдау арқылы дәлелдеуге болады:
$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right) = f(x)$ және $\frac{d}{dx}\left(\int p(x)dx\right) = p(x)$.
Бастапқы теңдіктен $f(x) = p(x)$ екені шығады.
Ответ: Иә, шығады.