Номер 4, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = (x+1)(x+3)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
$f(x) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования:
$F(x) = \int (x^2 + 4x + 3) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4\frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + C$.
По условию задачи, график первообразной проходит через начало координат, что означает $F(0) = 0$. Используем это условие для нахождения константы $C$:
$F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 3(0) + C = 0$.
$0 + 0 + 0 + C = 0$, откуда $C = 0$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид:
$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

2) Дана функция $f(x) = (1-x)(3+x)$.
Упростим выражение, раскрыв скобки:
$f(x) = 3 + x - 3x - x^2 = -x^2 - 2x + 3$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = -\frac{0^3}{3} - 0^2 + 3(0) + C = 0$.
Отсюда $C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.
Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int \left(\frac{x^2}{3} + \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + C = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = \frac{0^3}{9} - \cos\left(0+\frac{\pi}{3}\right) + C = 0$.
$0 - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = 0$.
Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:
$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int \left(-\frac{x^3}{2} + \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) dx = -\frac{1}{2}\frac{x^4}{4} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + C = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = -\frac{0^4}{8} + \sin\left(0-\frac{\pi}{6}\right) + C = 0$.
$0 + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + C = 0$.
Так как $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$.