Номер 11, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) f(x) = (x - 1)³;
Алғашқы функцияның жалпы түрін табу үшін берілген функциядан анықталмаған интеграл аламыз. Бұл $ (kx+b)^n $ түріндегі күрделі функцияның интегралы. Оны табу үшін $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $ формуласын қолданамыз.
Берілген функцияда $k=1$, $b=-1$, $n=3$.
$ F(x) = \int (x-1)^3 dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x-1)^4}{4} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (\frac{(x-1)^4}{4} + C)' = \frac{1}{4} \cdot 4(x-1)^{4-1} \cdot (x-1)' + 0 = (x-1)^3 \cdot 1 = (x-1)^3 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = \frac{(x-1)^4}{4} + C $

2) f(x) = (1 - 2x)²;
Бұл жағдайда да күрделі функцияның интегралын табу формуласын қолданамыз: $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $. Мұнда $k=-2$, $b=1$, $n=2$.
$ F(x) = \int (1-2x)^2 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^3}{3} + C = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (-\frac{(1-2x)^3}{6} + C)' = -\frac{1}{6} \cdot 3(1-2x)^{3-1} \cdot (1-2x)' = -\frac{1}{2}(1-2x)^2 \cdot (-2) = (1-2x)^2 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C $

3) f(x) = 1/(2√x) + 11x¹⁰;
Алдымен, функцияны дәрежелік түрге келтіріп жазамыз: $ f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10} $.
Дәрежелік функцияның интегралын табу ережесін $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ қолданып, әрбір қосылғышты жеке интегралдаймыз:
$ F(x) = \int (\frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10}) dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} dx + 11 \int x^{10} dx $
$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 11 \cdot \frac{x^{10+1}}{10+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 11 \cdot \frac{x^{11}}{11} + C = x^{1/2} + x^{11} + C = \sqrt{x} + x^{11} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (\sqrt{x} + x^{11} + C)' = (x^{1/2})' + (x^{11})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10} = f(x). $
Ответ: $ F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C $

4) f(x) = 1/x² + 12x⁸;
Функцияны дәрежелік түрге келтіріп жазамыз: $ f(x) = x^{-2} + 12x^8 $.
Дәрежелік функцияның интегралын табу ережесін $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (мұнда $n \neq -1$) қолданып, әрбір қосылғышты жеке интегралдаймыз:
$ F(x) = \int (x^{-2} + 12x^8) dx = \int x^{-2} dx + 12 \int x^8 dx $
$ = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 12 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + 12 \cdot \frac{x^9}{9} + C = -x^{-1} + \frac{4}{3}x^9 + C = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (-\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C)' = (-x^{-1})' + (\frac{4}{3}x^9)' = -(-1)x^{-2} + \frac{4}{3} \cdot 9x^8 = x^{-2} + 12x^8 = \frac{1}{x^2} + 12x^8 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C $