Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

1)

Даны функции $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$ и $F(x) = x^3 - 3\cos x$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (x^3 - 3\cos x)'$
Используя правила дифференцирования (производная разности, производная степенной функции и производная косинуса):
$(u-v)' = u' - v'$
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
$(\cos x)' = -\sin x$
Получаем:
$F'(x) = (x^3)' - (3\cos x)' = 3x^{3-1} - 3(-\sin x) = 3x^2 + 3\sin x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 3x^2 + 3\sin x$
$f(x) = 3x^2 + 3\sin x$
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x) = x^3 - 3\cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$.
Ответ: Доказано.

2)

Даны функции $f(x) = x^4 + 4\cos x$ и $F(x) = 0,2x^5 + 4\sin x$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (0,2x^5 + 4\sin x)'$
Используя правила дифференцирования (производная суммы, производная степенной функции и производная синуса):
$(u+v)' = u' + v'$
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
$(\sin x)' = \cos x$
Получаем:
$F'(x) = (0,2x^5)' + (4\sin x)' = 0,2 \cdot 5x^{5-1} + 4\cos x = 1 \cdot x^4 + 4\cos x = x^4 + 4\cos x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = x^4 + 4\cos x$
$f(x) = x^4 + 4\cos x$
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x) = 0,2x^5 + 4\sin x$ является первообразной для функции $f(x) = x^4 + 4\cos x$.
Ответ: Доказано.

1) Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = 9x^2 + \sin{3x}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ дается формулой $F(x) = \int f(x) \,dx$.
$F(x) = \int (9x^2 + \sin{3x}) \,dx = \int 9x^2 \,dx + \int \sin{3x} \,dx$.
Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов:
Первый интеграл: $\int 9x^2 \,dx = 9 \int x^2 \,dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.
Второй интеграл: $\int \sin{3x} \,dx = -\frac{1}{3}\cos{3x}$.
Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:
$F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos{3x} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos{3x} + C$.

2) Для функции $f(x) = 12x^3 - \cos{4x}$ находим первообразную $F(x)$ путем интегрирования:
$F(x) = \int (12x^3 - \cos{4x}) \,dx = \int 12x^3 \,dx - \int \cos{4x} \,dx$.
Вычислим каждый интеграл:
$\int 12x^3 \,dx = 12 \int x^3 \,dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$.
$\int \cos{4x} \,dx = \frac{1}{4}\sin{4x}$.
Объединяя результаты и добавляя константу $C$, получаем:
$F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin{4x} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin{4x} + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos{2x} - \frac{1}{\sqrt{2x - 3}} + 2$ находим первообразную $F(x)$.
$F(x) = \int (\cos{2x} - \frac{1}{\sqrt{2x - 3}} + 2) \,dx = \int \cos{2x} \,dx - \int (2x - 3)^{-1/2} \,dx + \int 2 \,dx$.
Вычислим интегралы по частям:
$\int \cos{2x} \,dx = \frac{1}{2}\sin{2x}$.
Для второго интеграла используем формулу $\int (ax+b)^n \,dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$:$\int (2x - 3)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{2x - 3}$.
Третий интеграл: $\int 2 \,dx = 2x$.
Собираем все части вместе и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{1}{2}\sin{2x} - \sqrt{2x - 3} + 2x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin{2x} - \sqrt{2x - 3} + 2x + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5 - 2x}} + \sin{5x} + 1$ находим первообразную $F(x)$.
$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}} + \sin{5x} + 1) \,dx = \int (5 - 2x)^{-1/2} \,dx + \int \sin{5x} \,dx + \int 1 \,dx$.
Вычисляем каждый интеграл:
Для первого интеграла используем формулу $\int (ax+b)^n \,dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$:$\int (5 - 2x)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(5 - 2x)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(5 - 2x)^{1/2}}{1/2} = -\sqrt{5 - 2x}$.
Второй интеграл: $\int \sin{5x} \,dx = -\frac{1}{5}\cos{5x}$.
Третий интеграл: $\int 1 \,dx = x$.
Объединяем все части и добавляем константу $C$:
$F(x) = -\sqrt{5 - 2x} - \frac{1}{5}\cos{5x} + x + C$.
Ответ: $F(x) = -\sqrt{5 - 2x} - \frac{1}{5}\cos{5x} + x + C$.

1) $f(x) = 2x + 3$, $M(1; 2)$

Тапсырманы шешу үшін алдымен берілген $f(x)$ функциясының жалпы алғашқы функциясын табамыз: $F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$.

Енді $F(x)$ функциясының графигі $M(1; 2)$ нүктесі арқылы өтетінін пайдаланып, $C$ тұрақтысын табамыз. $x=1$ және $F(1)=2$ мәндерін жалпы формулаға қоямыз: $F(1) = 1^2 + 3(1) + C = 2$ $1 + 3 + C = 2$ $4 + C = 2$ $C = 2 - 4 = -2$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x^2 + 3x - 2$. Бұл функцияның графигі - тармақтары жоғарыға бағытталған парабола.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$

2) $f(x) = 3x^2 - 2$, $M(2; 4)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (3x^2 - 2) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C$.

$M(2; 4)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(2) = 2^3 - 2(2) + C = 4$ $8 - 4 + C = 4$ $4 + C = 4$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x^3 - 2x$. Бұл кубтық функция.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x^3 - 2x$

3) $f(x) = 1 + \sin x$, $M(0; 1)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C$.

$M(0; 1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(0) = 0 - \cos(0) + C = 1$ $0 - 1 + C = 1$ $C = 2$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x - \cos x + 2$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x - \cos x + 2$

4) $f(x) = 3\cos x - 2$, $M(\frac{\pi}{2}; -1)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (3\cos x - 2) dx = 3\sin x - 2x + C$.

$M(\frac{\pi}{2}; -1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi}{2}) + C = -1$ $3(1) - \pi + C = -1$ $3 - \pi + C = -1$ $C = \pi - 4$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$

5) $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}$, $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$

Алдымен $f(x)$ функциясын ықшамдап аламыз. Келтіру формуласын қолданамыз $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$: $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Енді жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

$M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) + C = -1$ $-1 + C = -1$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = \tan x$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = \tan x$

6) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}$, $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$

Алдымен $f(x)$ функциясын ықшамдап аламыз. Келтіру формуласын қолданамыз $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$: $f(x) = \frac{1}{(-\sin x)^2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Енді жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз. $\cot(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$: $F(\frac{5\pi}{6}) = -\cot(\frac{5\pi}{6}) + C = \sqrt{3}$ $-(-\sqrt{3}) + C = \sqrt{3}$ $\sqrt{3} + C = \sqrt{3}$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = -\cot x$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = -\cot x$

1) Чтобы найти данный интеграл, сначала раскроем квадрат двучлена в подынтегральном выражении:

$(3x - 2)² = (3x)² - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2² = 9x² - 12x + 4$

Теперь интеграл принимает вид:

$∫(9x² - 12x + 4) dx$

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности, применяя формулу для степенной функции $∫x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$∫9x² dx - ∫12x dx + ∫4 dx = 9∫x² dx - 12∫x dx + 4∫dx = 9\frac{x³}{3} - 12\frac{x²}{2} + 4x + C$

Упростим полученное выражение:

$3x³ - 6x² + 4x + C$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $3x³ - 6x² + 4x + C$.

2) Воспользуемся свойством линейности интеграла и разобьем его на три отдельных интеграла:

$∫((2 - x)⁴ - 17x⁹ + \sqrt{2}) dx = ∫(2 - x)⁴ dx - ∫17x⁹ dx + ∫\sqrt{2} dx$

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла $∫(2 - x)⁴ dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = 2 - x$, тогда $dt = -dx$ или $dx = -dt$.

$∫t⁴(-dt) = -∫t⁴ dt = -\frac{t⁵}{5} + C₁ = -\frac{(2 - x)⁵}{5} + C₁$

Для второго интеграла $∫17x⁹ dx$ вынесем константу и применим формулу для степенной функции:

$17∫x⁹ dx = 17\frac{x¹⁰}{10} + C₂$

Третий интеграл $∫\sqrt{2} dx$ — это интеграл от константы:

$\sqrt{2}∫dx = \sqrt{2}x + C₃$

Объединим результаты, заменив сумму констант $C₁ - C₂ + C₃$ на одну общую константу $C$:

$-\frac{(2 - x)⁵}{5} - \frac{17x¹⁰}{10} + \sqrt{2}x + C$

Ответ: $-\frac{(2 - x)⁵}{5} - \frac{17}{10}x^{10} + \sqrt{2}x + C$.

3) Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$∫(\sin(5x) - 2(4x - 1)⁵) dx = ∫\sin(5x) dx - 2∫(4x - 1)⁵ dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

Для первого интеграла $∫\sin(5x) dx$ используем замену $t = 5x$, тогда $dt = 5dx$ и $dx = \frac{dt}{5}$.

$∫\sin(t) \frac{dt}{5} = \frac{1}{5}∫\sin(t) dt = \frac{1}{5}(-\cos(t)) + C₁ = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C₁$

Для второго интеграла $2∫(4x - 1)⁵ dx$ используем замену $u = 4x - 1$, тогда $du = 4dx$ и $dx = \frac{du}{4}$.

$2∫u⁵ \frac{du}{4} = \frac{2}{4}∫u⁵ du = \frac{1}{2}∫u⁵ du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u⁶}{6} + C₂ = \frac{u⁶}{12} + C₂ = \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C₂$

Теперь объединим результаты, учитывая знак минус между интегралами и заменяя $C_1 - C_2$ на общую константу $C$:

$-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C$

Ответ: $-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C$.

4) Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$∫(\frac{1}{\sin²(5x)} - \frac{3}{x¹⁰}) dx = ∫\frac{1}{\sin²(5x)}dx - ∫\frac{3}{x¹⁰}dx$

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла $∫\frac{dx}{\sin²(5x)}$ используем табличный интеграл $∫\frac{dx}{\sin²(x)} = -\cot(x) + C$ и метод замены. Пусть $t = 5x$, тогда $dt = 5dx$ и $dx = \frac{dt}{5}$.

$∫\frac{1}{\sin²(t)} \frac{dt}{5} = \frac{1}{5}∫\frac{dt}{\sin²(t)} = \frac{1}{5}(-\cot(t)) + C₁ = -\frac{1}{5}\cot(5x) + C₁$

Для второго интеграла $∫\frac{3}{x¹⁰}dx$ перепишем его как $3∫x^{-10}dx$ и воспользуемся формулой для степенной функции:

$3∫x^{-10}dx = 3\frac{x^{-10+1}}{-10+1} + C₂ = 3\frac{x^{-9}}{-9} + C₂ = -\frac{1}{3}x^{-9} + C₂ = -\frac{1}{3x⁹} + C₂$

Объединим результаты и константы ($C = C₁ - C₂$):

$-\frac{1}{5}\cot(5x) - (-\frac{1}{3x⁹}) + C = -\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x⁹} + C$

Ответ: $-\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x⁹} + C$.

1) f(x) = (x - 1)³;
Алғашқы функцияның жалпы түрін табу үшін берілген функциядан анықталмаған интеграл аламыз. Бұл $ (kx+b)^n $ түріндегі күрделі функцияның интегралы. Оны табу үшін $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $ формуласын қолданамыз.
Берілген функцияда $k=1$, $b=-1$, $n=3$.
$ F(x) = \int (x-1)^3 dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x-1)^4}{4} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (\frac{(x-1)^4}{4} + C)' = \frac{1}{4} \cdot 4(x-1)^{4-1} \cdot (x-1)' + 0 = (x-1)^3 \cdot 1 = (x-1)^3 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = \frac{(x-1)^4}{4} + C $

2) f(x) = (1 - 2x)²;
Бұл жағдайда да күрделі функцияның интегралын табу формуласын қолданамыз: $ \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C $. Мұнда $k=-2$, $b=1$, $n=2$.
$ F(x) = \int (1-2x)^2 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^3}{3} + C = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (-\frac{(1-2x)^3}{6} + C)' = -\frac{1}{6} \cdot 3(1-2x)^{3-1} \cdot (1-2x)' = -\frac{1}{2}(1-2x)^2 \cdot (-2) = (1-2x)^2 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C $

3) f(x) = 1/(2√x) + 11x¹⁰;
Алдымен, функцияны дәрежелік түрге келтіріп жазамыз: $ f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10} $.
Дәрежелік функцияның интегралын табу ережесін $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ қолданып, әрбір қосылғышты жеке интегралдаймыз:
$ F(x) = \int (\frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10}) dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} dx + 11 \int x^{10} dx $
$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 11 \cdot \frac{x^{10+1}}{10+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 11 \cdot \frac{x^{11}}{11} + C = x^{1/2} + x^{11} + C = \sqrt{x} + x^{11} + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (\sqrt{x} + x^{11} + C)' = (x^{1/2})' + (x^{11})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 11x^{10} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10} = f(x). $
Ответ: $ F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C $

4) f(x) = 1/x² + 12x⁸;
Функцияны дәрежелік түрге келтіріп жазамыз: $ f(x) = x^{-2} + 12x^8 $.
Дәрежелік функцияның интегралын табу ережесін $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (мұнда $n \neq -1$) қолданып, әрбір қосылғышты жеке интегралдаймыз:
$ F(x) = \int (x^{-2} + 12x^8) dx = \int x^{-2} dx + 12 \int x^8 dx $
$ = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 12 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + 12 \cdot \frac{x^9}{9} + C = -x^{-1} + \frac{4}{3}x^9 + C = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C. $
Тексеру: $ F'(x) = (-\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C)' = (-x^{-1})' + (\frac{4}{3}x^9)' = -(-1)x^{-2} + \frac{4}{3} \cdot 9x^8 = x^{-2} + 12x^8 = \frac{1}{x^2} + 12x^8 = f(x). $
Ответ: $ F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C $

1) Дана функция $f(x) = x - \cos^{-2}x = x - \frac{1}{\cos^2x}$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi^2}{32})$.
Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ путем интегрирования:
$F(x) = \int (x - \frac{1}{\cos^2x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{\cos^2x} dx = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + C$.
Чтобы найти константу $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M$. Это означает, что $F(a) = b$, или в нашем случае $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{32}$.
Подставим значения $x = \frac{\pi}{4}$ и $F(x) = \frac{\pi^2}{32}$ в уравнение для $F(x)$:
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C$
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2/16}{2} - 1 + C$
$\frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2}{32} - 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -1 + C \implies C = 1$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan(x) + 1$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^{-2}x - x = \frac{2}{\sin^2x} - x$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2x} - x) dx = 2\int \frac{1}{\sin^2x} dx - \int x dx = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + C$.
Используем координаты точки $M(x = \frac{\pi}{4}, F(x) = -\frac{\pi^2}{32})$ для определения $C$:
$-\frac{\pi^2}{32} = -2\cot(\frac{\pi}{4}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} + C$
$-\frac{\pi^2}{32} = -2(1) - \frac{\pi^2/16}{2} + C$
$-\frac{\pi^2}{32} = -2 - \frac{\pi^2}{32} + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -2 + C \implies C = 2$.
Искомая первообразная: $F(x) = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + 2$.
Ответ: $F(x) = -2\cot(x) - \frac{x^2}{2} + 2$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-3} + \cos x = \frac{1}{x^3} + \cos x$ и точка $M(0.5\pi; -\frac{1}{2\pi})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^{-3} + \cos x) dx = \int x^{-3} dx + \int \cos x dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \sin x + C = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + C$.
Используем координаты точки $M(x = 0.5\pi = \frac{\pi}{2}, F(x) = -\frac{1}{2\pi})$ для определения $C$:
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{1}{2(\frac{\pi}{2})^2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C$
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{1}{2(\pi^2/4)} + 1 + C$
$-\frac{1}{2\pi} = -\frac{2}{\pi^2} + 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$C = \frac{2}{\pi^2} - 1 - \frac{1}{2\pi}$.
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - 1$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - 1$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - \sin x$ и точка $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^3 - \sin x) dx = \int x^3 dx - \int \sin x dx = \frac{x^4}{4} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C$.
Используем координаты точки $M(x = \pi, F(x) = \frac{\pi^4}{4})$ для определения $C$:
$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} + \cos(\pi) + C$
$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} - 1 + C$
Решая уравнение относительно $C$, получаем:
$0 = -1 + C \implies C = 1$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.