Номер 10, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти данный интеграл, сначала раскроем квадрат двучлена в подынтегральном выражении:

$(3x - 2)² = (3x)² - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2² = 9x² - 12x + 4$

Теперь интеграл принимает вид:

$∫(9x² - 12x + 4) dx$

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности, применяя формулу для степенной функции $∫x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$∫9x² dx - ∫12x dx + ∫4 dx = 9∫x² dx - 12∫x dx + 4∫dx = 9\frac{x³}{3} - 12\frac{x²}{2} + 4x + C$

Упростим полученное выражение:

$3x³ - 6x² + 4x + C$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $3x³ - 6x² + 4x + C$.

2) Воспользуемся свойством линейности интеграла и разобьем его на три отдельных интеграла:

$∫((2 - x)⁴ - 17x⁹ + \sqrt{2}) dx = ∫(2 - x)⁴ dx - ∫17x⁹ dx + ∫\sqrt{2} dx$

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла $∫(2 - x)⁴ dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = 2 - x$, тогда $dt = -dx$ или $dx = -dt$.

$∫t⁴(-dt) = -∫t⁴ dt = -\frac{t⁵}{5} + C₁ = -\frac{(2 - x)⁵}{5} + C₁$

Для второго интеграла $∫17x⁹ dx$ вынесем константу и применим формулу для степенной функции:

$17∫x⁹ dx = 17\frac{x¹⁰}{10} + C₂$

Третий интеграл $∫\sqrt{2} dx$ — это интеграл от константы:

$\sqrt{2}∫dx = \sqrt{2}x + C₃$

Объединим результаты, заменив сумму констант $C₁ - C₂ + C₃$ на одну общую константу $C$:

$-\frac{(2 - x)⁵}{5} - \frac{17x¹⁰}{10} + \sqrt{2}x + C$

Ответ: $-\frac{(2 - x)⁵}{5} - \frac{17}{10}x^{10} + \sqrt{2}x + C$.

3) Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$∫(\sin(5x) - 2(4x - 1)⁵) dx = ∫\sin(5x) dx - 2∫(4x - 1)⁵ dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

Для первого интеграла $∫\sin(5x) dx$ используем замену $t = 5x$, тогда $dt = 5dx$ и $dx = \frac{dt}{5}$.

$∫\sin(t) \frac{dt}{5} = \frac{1}{5}∫\sin(t) dt = \frac{1}{5}(-\cos(t)) + C₁ = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C₁$

Для второго интеграла $2∫(4x - 1)⁵ dx$ используем замену $u = 4x - 1$, тогда $du = 4dx$ и $dx = \frac{du}{4}$.

$2∫u⁵ \frac{du}{4} = \frac{2}{4}∫u⁵ du = \frac{1}{2}∫u⁵ du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u⁶}{6} + C₂ = \frac{u⁶}{12} + C₂ = \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C₂$

Теперь объединим результаты, учитывая знак минус между интегралами и заменяя $C_1 - C_2$ на общую константу $C$:

$-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C$

Ответ: $-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)⁶}{12} + C$.

4) Разобьем интеграл на два, используя свойство линейности:

$∫(\frac{1}{\sin²(5x)} - \frac{3}{x¹⁰}) dx = ∫\frac{1}{\sin²(5x)}dx - ∫\frac{3}{x¹⁰}dx$

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла $∫\frac{dx}{\sin²(5x)}$ используем табличный интеграл $∫\frac{dx}{\sin²(x)} = -\cot(x) + C$ и метод замены. Пусть $t = 5x$, тогда $dt = 5dx$ и $dx = \frac{dt}{5}$.

$∫\frac{1}{\sin²(t)} \frac{dt}{5} = \frac{1}{5}∫\frac{dt}{\sin²(t)} = \frac{1}{5}(-\cot(t)) + C₁ = -\frac{1}{5}\cot(5x) + C₁$

Для второго интеграла $∫\frac{3}{x¹⁰}dx$ перепишем его как $3∫x^{-10}dx$ и воспользуемся формулой для степенной функции:

$3∫x^{-10}dx = 3\frac{x^{-10+1}}{-10+1} + C₂ = 3\frac{x^{-9}}{-9} + C₂ = -\frac{1}{3}x^{-9} + C₂ = -\frac{1}{3x⁹} + C₂$

Объединим результаты и константы ($C = C₁ - C₂$):

$-\frac{1}{5}\cot(5x) - (-\frac{1}{3x⁹}) + C = -\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x⁹} + C$

Ответ: $-\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x⁹} + C$.