Номер 13, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = (x - 3)\sqrt{x - 5}$ первообразной для функции $f(x) = 2x - 10 + \frac{x - 3}{\sqrt{x - 5}}$ на интервале $x \in (5; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.

Функция $F(x)$ является произведением двух функций: $u(x) = x - 3$ и $v(x) = \sqrt{x - 5}$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x - 3)' = 1$

$v'(x) = (\sqrt{x - 5})' = ((x - 5)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x - 5)^{-1/2} \cdot (x-5)' = \frac{1}{2\sqrt{x - 5}}$

Теперь находим производную $F'(x)$:

$F'(x) = (x - 3)' \cdot \sqrt{x - 5} + (x - 3) \cdot (\sqrt{x - 5})' = 1 \cdot \sqrt{x - 5} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} = \sqrt{x - 5} + \frac{x - 3}{2\sqrt{x - 5}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{\sqrt{x - 5} \cdot 2\sqrt{x - 5} + (x - 3)}{2\sqrt{x - 5}} = \frac{2(x - 5) + x - 3}{2\sqrt{x - 5}} = \frac{2x - 10 + x - 3}{2\sqrt{x - 5}} = \frac{3x - 13}{2\sqrt{x - 5}}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с заданной функцией $f(x) = 2x - 10 + \frac{x - 3}{\sqrt{x - 5}}$.

$F'(x) = \frac{3x - 13}{2\sqrt{x - 5}}$

Очевидно, что $F'(x) \neq f(x)$. Для проверки подставим значение $x = 6$ из заданного интервала:

$F'(6) = \frac{3(6) - 13}{2\sqrt{6 - 5}} = \frac{18 - 13}{2\sqrt{1}} = \frac{5}{2}$

$f(6) = 2(6) - 10 + \frac{6 - 3}{\sqrt{6 - 5}} = 12 - 10 + \frac{3}{1} = 2 + 3 = 5$

Поскольку $\frac{5}{2} \neq 5$, равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется.

Ответ: нет.

2)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = \frac{2x - 5}{3 + 5x}$ первообразной для функции $f(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$ на интервалах $x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.

Функция $F(x)$ является частным двух функций: $u(x) = 2x - 5$ и $v(x) = 3 + 5x$. Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (2x - 5)' = 2$

$v'(x) = (3 + 5x)' = 5$

Теперь находим производную $F'(x)$:

$F'(x) = \frac{(2x - 5)'(3 + 5x) - (2x - 5)(3 + 5x)'}{(3 + 5x)^2} = \frac{2(3 + 5x) - (2x - 5) \cdot 5}{(3 + 5x)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$F'(x) = \frac{6 + 10x - (10x - 25)}{(3 + 5x)^2} = \frac{6 + 10x - 10x + 25}{(3 + 5x)^2}$

$F'(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с заданной функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$ и $f(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на всей области определения, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: да.