Номер 19, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 3$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = x^2 - 2x + 3$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=1$ и $x=2$.
Исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Так как старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось Ox, следовательно, $f(x) > 0$ при всех $x$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x \right) \Big|_{1}^{2} = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right) \Big|_{1}^{2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 3 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - 2 = \frac{7}{3}$.
Ответ: $S = \frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 3$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = x^2 - 2x + 8$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=-1$ и $x=3$.
Исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[-1, 3]$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 < 0$. Старший коэффициент положителен ($a=1$), значит, парабола направлена ветвями вверх и целиком лежит выше оси Ox. Следовательно, $f(x) > 0$ на всем отрезке интегрирования.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 8) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right) \Big|_{-1}^{3}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 + 8 \cdot 3 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 8 \cdot (-1) \right) = (9 - 9 + 24) - \left( -\frac{1}{3} - 1 - 8 \right) = 24 - \left( -\frac{1}{3} - 9 \right) = 24 - \left( -\frac{28}{3} \right) = 24 + \frac{28}{3} = \frac{72+28}{3} = \frac{100}{3}$.
Ответ: $S = \frac{100}{3}$.

3) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = \cos x$, снизу — осью Ox ($y=0$), слева и справа — прямыми $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ положительна, так как этот отрезок находится внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos x \,dx$.
Так как функция $y = \cos x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:
$S = 2 \int_{0}^{\pi/3} \cos x \,dx = 2 [\sin x] \Big|_{0}^{\pi/3} = 2(\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \sqrt{3}$.
Либо, вычисляя напрямую:
$S = [\sin x] \Big|_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $S = \sqrt{3}$.

4) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = \sin x$, снизу — осью Ox ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (первая четверть) функция $\sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx = [-\cos x] \Big|_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.
Ответ: $S = 1$.