Номер 22, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 2. Қисықсызықты трапецияның ауданы. I тарау. Алғашқы функция және интеграл - номер 22, страница 22.

Условие.

Решение 2 (rus).

1)

Фигураның ауданын табу үшін $y=\cos x$ функциясынан $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ аралығында анықталған интегралды есептеу керек. Берілген аралықта $\cos x \ge 0$ болғандықтан, қисықсызықты трапецияның ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептеледі:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \,dx$

$\cos x$ функциясының алғашқы функциясы $\sin x$ болып табылады.

$S = [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4})$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\sin(-x) = -\sin(x)$ қасиеті бойынша $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ екенін ескереміз.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Графикте боялған аймақ ізделінді ауданды көрсетеді:

Ответ: $\sqrt{2}$

2)

Бұл жағдайда фигураның ауданын табу үшін $y=\sin x$ функциясынан $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ аралығында анықталған интегралды есептеу керек. Берілген аралықта $\sin x \ge 0$ болғандықтан, аудан келесі формуламен анықталады:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \sin x \,dx$

$\sin x$ функциясының алғашқы функциясы $-\cos x$ болады.

$S = [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi/3} = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{4})) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{3})$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ мәндерін орнына қоямыз.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

Графикте боялған аймақ ізделінді ауданды көрсетеді:

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$