Номер 27, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) y = -x² + x + 6;
Фигураның ауданын табу үшін, алдымен параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін (түбірлерін) табамыз. Ол үшін $y = 0$ деп аламыз:
$-x^2 + x + 6 = 0$
Теңдеуді -1-ге көбейтеміз:
$x^2 - x - 6 = 0$
Бұл квадрат теңдеудің түбірлері: $x_1 = -2$ және $x_2 = 3$. Бұл интегралдау шектері болады. Парабола тармақтары төмен қарағандықтан ($a = -1 < 0$), фигура Ox осінен жоғары орналасқан.
Ауданды анықталған интеграл арқылы есептейміз:
$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6)dx$
Алғашқы функцияны табамыз:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$
Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз:
$S = F(3) - F(-2) = \left(-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2)\right)$
$S = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{8}{3} - 10\right)$
$S = \frac{27}{2} - \left(\frac{8-30}{3}\right) = \frac{27}{2} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$.
Ответ: $\frac{125}{6}$

2) y = -x² + 2x + 3;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Түбірлері: $x_1 = -1$ және $x_2 = 3$.
Ауданды интегралмен есептейміз:
$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(3) - F(-1) = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$
$S = (-9 + 9 + 9) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

3) y = -2(x - 1)² + 8;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-2(x - 1)^2 + 8 = 0$
$2(x - 1)^2 = 8$
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = \pm 2$
Түбірлері: $x_1 = 1 - 2 = -1$ және $x_2 = 1 + 2 = 3$.
Интегралдау үшін функцияны стандартты түрге келтіреміз: $y = -2(x^2 - 2x + 1) + 8 = -2x^2 + 4x - 2 + 8 = -2x^2 + 4x + 6$.
Ауданды есептейміз:
$S = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(3) - F(-1) = \left(-\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1)\right)$
$S = (-18 + 18 + 18) - \left(\frac{2}{3} + 2 - 6\right) = 18 - \left(\frac{2}{3} - 4\right) = 18 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$.
Ответ: $\frac{64}{3}$

4) y = -2(x - 3)² + 2;
Параболаның Ox осімен қиылысу нүктелерін табамыз ($y = 0$):
$-2(x - 3)^2 + 2 = 0$
$2(x - 3)^2 = 2$
$(x - 3)^2 = 1$
$x - 3 = \pm 1$
Түбірлері: $x_1 = 3 - 1 = 2$ және $x_2 = 3 + 1 = 4$.
Интегралдау үшін функцияны стандартты түрге келтіреміз: $y = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 = -2x^2 + 12x - 18 + 2 = -2x^2 + 12x - 16$.
Ауданды есептейміз:
$S = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16)dx$
Алғашқы функция: $F(x) = -\frac{2x^3}{3} + 6x^2 - 16x$
Ньютон-Лейбниц формуласы:
$S = F(4) - F(2) = \left(-\frac{2 \cdot 4^3}{3} + 6 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4\right) - \left(-\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 6 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2\right)$
$S = \left(-\frac{128}{3} + 96 - 64\right) - \left(-\frac{16}{3} + 24 - 32\right) = \left(32 - \frac{128}{3}\right) - \left(-8 - \frac{16}{3}\right)$
$S = \left(\frac{96 - 128}{3}\right) - \left(\frac{-24 - 16}{3}\right) = -\frac{32}{3} - \left(-\frac{40}{3}\right) = -\frac{32}{3} + \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$