Номер 33, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому подынтегральная функция преобразуется к виду: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим преобразованную функцию в интеграл и вычислим его, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx = \frac{1}{2} [x - \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}\right) - (0 - \sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 - 0 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 2}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi - 2}{4}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, поэтому $2\alpha = \frac{x}{2}$. Подынтегральная функция преобразуется к виду: $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$.

Подставим преобразованную функцию в интеграл и вычислим его:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos \frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \left[x + 2\sin \frac{x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi/2}{2}\right) - (0 + 2\sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{2} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi + 2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi + 2\sqrt{2}}{4}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$ упростим подынтегральную функцию. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.

Теперь подставим это в дробь и сократим (сокращение возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю):

$\frac{(x^2 + 1)(x + 1)}{x + 1} = x^2 + 1$.

Вычислим интеграл от упрощенной функции:

$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{3}^{5} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$ упростим подынтегральную функцию. Разложим числитель, квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$, на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложение в дробь и сократим (сокращение возможно, так как на отрезке $[3, 5]$ знаменатель $x-2$ не равен нулю):

$\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$.

Теперь вычислим интеграл от упрощенной функции:

$\int_{3}^{5} (x - 3) dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{5} = \left(\frac{5^2}{2} - 3 \cdot 5\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3\right) = \left(\frac{25}{2} - 15\right) - \left(\frac{9}{2} - 9\right) = \left(\frac{25-30}{2}\right) - \left(\frac{9-18}{2}\right) = \frac{-5}{2} - \frac{-9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$