Номер 38, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $.
Отсюда, $ 1 - 2\cos^2 x = -(2\cos^2 x - 1) = -\cos(2x) $.
Тогда интеграл принимает вид:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2 x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) dx $
Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) dx = \left[ -\frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Данный интеграл можно вычислить почленным интегрированием:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\sin(2x) - 1)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2\sin(2x)dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 1dx $
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2\sin(2x) - 1 $.
$ F(x) = 2\left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) - x = -\cos(2x) - x $.
Вычислим определенный интеграл:
$ \left[ -\cos(2x) - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - \left(-\cos(2 \cdot 0) - 0\right) = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - (-\cos(0)) $
Поскольку $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:
$ \left(-\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - (-1) = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3} $.

3) Преобразуем подынтегральную функцию, используя основное тригонометрическое тождество $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $. Это тождество справедливо на интервале интегрирования $ [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}] $, так как на этом интервале $ \sin x \ne 0 $ и $ \cos x \ne 0 $.
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \tg x \ctg x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1) dx $
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1) dx = \left[ -\cos x + x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) $
Подставим значения тригонометрических функций $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \left(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12} $.

4) Упростим подынтегральное выражение, используя тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = \frac{x}{5} $. На интервале интегрирования $ [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] $ аргумент $ \frac{x}{5} $ находится в интервале $ [\frac{\pi}{15}, \frac{\pi}{10}] $, где тангенс и котангенс определены.
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\tg\frac{x}{5} \ctg\frac{x}{5} - \cos x\right) dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx $
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx = \left[ x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $
Подставим значения $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}\right) - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 $.