Номер 43, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = (2 + 5x)^3$. Применяя формулу для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$F(x) = \int (2 + 5x)^3 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2 + 5x)^{3+1}}{3+1} = \frac{(2 + 5x)^4}{20}$.
Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:
$\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx = \left. \frac{(2 + 5x)^4}{20} \right|_{0}^{1} = \frac{(2 + 5 \cdot 1)^4}{20} - \frac{(2 + 5 \cdot 0)^4}{20} = \frac{7^4}{20} - \frac{2^4}{20} = \frac{2401 - 16}{20} = \frac{2385}{20} = \frac{477}{4}$.
Ответ: $\frac{477}{4}$

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx$. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = (2x + 3)^3$.
Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (2x + 3)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 3)^{3+1}}{3+1} = \frac{(2x + 3)^4}{8}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx = \left. \frac{(2x + 3)^4}{8} \right|_{0}^{1} = \frac{(2 \cdot 1 + 3)^4}{8} - \frac{(2 \cdot 0 + 3)^4}{8} = \frac{5^4}{8} - \frac{3^4}{8} = \frac{625 - 81}{8} = \frac{544}{8} = 68$.
Ответ: $68$

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4}$. Перепишем подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = (6x - 1)^{-4}$.
Найдем первообразную:$F(x) = \int (6x - 1)^{-4} dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x - 1)^{-4+1}}{-4+1} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x - 1)^{-3}}{-3} = -\frac{1}{18(6x - 1)^3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4} = \left. -\frac{1}{18(6x - 1)^3} \right|_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{18(6 \cdot 0 - 1)^3}\right) - \left(-\frac{1}{18(6 \cdot (-1) - 1)^3}\right)$
$= -\frac{1}{18(-1)^3} + \frac{1}{18(-7)^3} = -\frac{1}{-18} + \frac{1}{18(-343)} = \frac{1}{18} - \frac{1}{6174}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $6174 = 18 \cdot 343$.
$\frac{343}{6174} - \frac{1}{6174} = \frac{342}{6174} = \frac{19 \cdot 18}{343 \cdot 18} = \frac{19}{343}$.
Ответ: $\frac{19}{343}$

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5}$. Перепишем подынтегральную функцию в виде $f(x) = (1 - 2x)^{-5}$.
Найдем первообразную, обращая внимание, что коэффициент при $x$ равен $-2$:
$F(x) = \int (1 - 2x)^{-5} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{-5+1}}{-5+1} = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{-4}}{-4} = \frac{1}{8(1 - 2x)^4}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5} = \left. \frac{1}{8(1 - 2x)^4} \right|_{-1}^{0} = \frac{1}{8(1 - 2 \cdot 0)^4} - \frac{1}{8(1 - 2 \cdot (-1))^4}$
$= \frac{1}{8(1)^4} - \frac{1}{8(1 + 2)^4} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \cdot 3^4} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \cdot 81} = \frac{1}{8} - \frac{1}{648}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $648 = 8 \cdot 81$:
$\frac{81}{648} - \frac{1}{648} = \frac{80}{648} = \frac{10 \cdot 8}{81 \cdot 8} = \frac{10}{81}$.
Ответ: $\frac{10}{81}$