Номер 47, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Даны линии: $y = 2x + 2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Фигура, ограниченная этими линиями, представляет собой трапецию, у которой одно из оснований лежит на оси Ох. В данном случае, так как линия $y=2x+2$ пересекает ось Ох, фигура является треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения линий $y = 2x + 2$ и $y = 0$: $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Вершина: $(-1, 0)$.
• Точка пересечения линий $x = 2$ и $y = 0$: Вершина: $(2, 0)$.
• Точка пересечения линий $y = 2x + 2$ и $x = 2$: $y = 2(2) + 2 = 6$. Вершина: $(2, 6)$.

Таким образом, вершины фигуры: $(-1, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 6)$. Это прямоугольный треугольник.

Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по $x$ от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^{2} (2x + 2) dx = [x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (2^2 + 2 \cdot 2) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (4+4) - (1-2) = 8 - (-1) = 9$.

Проверка: Фигура является прямоугольным треугольником с катетами $a = 2 - (-1) = 3$ и $b = 6 - 0 = 6$.

Площадь по геометрической формуле: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $9$.

2) Даны линии: $y = x + 2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Фигура, ограниченная этими линиями, также является прямоугольным треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения линий $y = x + 2$ и $y = 0$: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Вершина: $(-2, 0)$.
• Точка пересечения линий $x = 2$ и $y = 0$: Вершина: $(2, 0)$.
• Точка пересечения линий $y = x + 2$ и $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4$. Вершина: $(2, 4)$.

Вершины фигуры: $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 4)$.

Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по $x$ от $-2$ до $2$.

$S = \int_{-2}^{2} (x + 2) dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)\right) = \left(\frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) = (2+4) - (2-4) = 6 - (-2) = 8$.

Проверка: Фигура является прямоугольным треугольником с катетами $a = 2 - (-2) = 4$ и $b = 4 - 0 = 4$.

Площадь по геометрической формуле: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $8$.