Номер 51, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) y = 2x², y = 4x;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = 2x^2$ и $y = 4x$, сначала найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем их уравнения:
$2x^2 = 4x$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций находится выше на интервале $[0, 2]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.
Для $y = 4x$: $y(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Для $y = 2x^2$: $y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
Так как $4 > 2$, на интервале $[0, 2]$ график прямой $y = 4x$ расположен выше графика параболы $y = 2x^2$.

Графики функций и искомая площадь выглядят следующим образом:

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Найдем первообразную:
$\int (4x - 2x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{2}{3}x^3$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 2^2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3) - (2 \cdot 0^2 - \frac{2}{3} \cdot 0^3)$
$S = (2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8) - 0 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$ кв. ед.

2) y = x², y = -2x;

Аналогично первому пункту, найдем точки пересечения кривых $y = x^2$ и $y = -2x$:
$x^2 = -2x$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Пределами интегрирования будут $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$.

Определим, какая функция больше на интервале $[-2, 0]$. Возьмем тестовую точку $x = -1$:
Для $y = -2x$: $y(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.
Для $y = x^2$: $y(-1) = (-1)^2 = 1$.
Так как $2 > 1$, на интервале $[-2, 0]$ график прямой $y = -2x$ находится выше графика параболы $y = x^2$.

Графики функций и искомая площадь выглядят следующим образом:

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней ($y=-2x$) и нижней ($y=x^2$) функций:
$S = \int_{-2}^{0} ((-2x) - x^2) dx = \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) dx$

Найдем первообразную:
$\int (-2x - x^2) dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = -x^2 - \frac{x^3}{3}$

Вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ -x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = (-0^2 - \frac{0^3}{3}) - (-(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})$
$S = 0 - (-4 - \frac{-8}{3}) = -(-4 + \frac{8}{3}) = -(-\frac{12}{3} + \frac{8}{3}) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ кв. ед.