Номер 57, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{8}x^3$ и $y = 0.5x$, сначала найдем точки пересечения этих кривых, приравняв их уравнения: $\frac{1}{8}x^3 = 0.5x$. Преобразуем уравнение: $\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x = 0$, умножим на 8, чтобы избавиться от дробей: $x^3 - 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 4) = 0$, что дает $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Таким образом, точки пересечения графиков находятся при $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$. Фигура, ограниченная данными кривыми, состоит из двух частей, симметричных относительно начала координат, поскольку обе функции, $f(x) = \frac{1}{8}x^3$ и $g(x) = 0.5x$, являются нечетными. Следовательно, можно вычислить площадь одной из частей (например, на промежутке $[0, 2]$) и удвоить результат. На интервале $[0, 2]$ определим, какая из функций больше. Возьмем тестовую точку, например $x=1$: для первой функции $y = \frac{1}{8}(1)^3 = \frac{1}{8}$, для второй $y = 0.5(1) = 0.5$. Так как $0.5 > \frac{1}{8}$, на интервале $[0, 2]$ прямая $y = 0.5x$ лежит выше кубической параболы $y = \frac{1}{8}x^3$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Учитывая симметрию, имеем: $S = 2 \int_{0}^{2} (0.5x - \frac{1}{8}x^3) dx$. Вычислим определенный интеграл: $S = 2 \left[ \frac{0.5x^2}{2} - \frac{1}{8} \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{32} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (\frac{2^2}{4} - \frac{2^4}{32}) - (\frac{0^2}{4} - \frac{0^4}{32}) \right) = 2 \left( \frac{4}{4} - \frac{16}{32} \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{4}x^3$ и $y = -x$, найдем их точки пересечения: $-\frac{1}{4}x^3 = -x$. Умножим обе части на -4: $x^3 = 4x$. Перенесем все в одну сторону: $x^3 - 4x = 0$, или $x(x^2 - 4) = 0$, откуда $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Точки пересечения находятся при $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$. Аналогично первому случаю, обе функции являются нечетными, поэтому фигура симметрична относительно начала координат. Мы можем вычислить площадь на промежутке $[0, 2]$ и умножить ее на 2. Сравним функции на интервале $[0, 2]$, взяв тестовую точку $x=1$: для первой функции $y = -\frac{1}{4}(1)^3 = -\frac{1}{4}$, для второй $y = -1$. Поскольку $-\frac{1}{4} > -1$, на интервале $[0, 2]$ кривая $y = -\frac{1}{4}x^3$ находится выше прямой $y = -x$. Площадь $S$ равна: $S = 2 \int_{0}^{2} \left( -\frac{1}{4}x^3 - (-x) \right) dx = 2 \int_{0}^{2} \left( x - \frac{1}{4}x^3 \right) dx$. Вычислим интеграл: $S = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4} \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{16} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (\frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{16}) - 0 \right) = 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{16}{16} \right) = 2 (2 - 1) = 2$.
Ответ: 2