Номер 62, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin(2x) dx $ сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = \sin(2x) $.

$ F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin(2x) dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) $

$ = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Зная, что $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $

Этот интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = \sin(2x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

2)

Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) dx $, найдем первообразную для $ f(x) = \cos(3x) $.

$ F(x) = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x) $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) dx = \left[\frac{1}{3}\sin(3x)\right]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{3}\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) $

$ = \frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(0) = \frac{1}{3} $

Этот интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \cos(3x) $, осью абсцисс $ Ox $ и осью ординат $ Oy $ (прямой $ x=0 $).

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3)

Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sin^2(x) dx $ используем тригонометрическую формулу понижения степени: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

$ \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sin^2(x) dx = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} (1 - \cos(2x)) dx $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ g(x) = 1 - \cos(2x) $:

$ G(x) = \int (1 - \cos(2x)) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x) $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} $

Интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sin^2(x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} $