Номер 69, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^2 + 4x$ и касательными к этому графику в точках его пересечения с осью абсцисс.

1. Нахождение точек пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$)

Для нахождения этих точек необходимо приравнять значение функции к нулю, так как на оси $Ox$ координата $y$ всегда равна нулю.

$-x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это абсциссы точек пересечения. Таким образом, касательные нужно провести в точках с координатами $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

2. Нахождение уравнений касательных

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = -x^2 + 4x$:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Теперь составим уравнения для каждой из двух касательных.

Касательная в точке $(0, 0)$ (где $x_0 = 0$):

Значение функции в этой точке: $f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент касательной): $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

Подставляем найденные значения в формулу касательной:

$y = 0 + 4(x - 0) \implies y = 4x$.

Касательная в точке $(4, 0)$ (где $x_0 = 4$):

Значение функции в этой точке: $f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент касательной): $f'(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу:

$y = 0 + (-4)(x - 4) \implies y = -4x + 16$.

3. Нахождение точки пересечения касательных

Чтобы найти общую точку касательных $y = 4x$ и $y = -4x + 16$, приравняем их правые части:

$4x = -4x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Для нахождения координаты $y$ подставим $x=2$ в уравнение любой из касательных:

$y = 4(2) = 8$.

Следовательно, касательные пересекаются в точке $(2, 8)$.

4. Вычисление площади фигуры

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = -x^2 + 4x$, а сверху — двумя отрезками касательных: $y = 4x$ на интервале $[0, 2]$ и $y = -4x + 16$ на интервале $[2, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла. Она равна площади под "верхней" границей (касательными) минус площадь под "нижней" границей (парабола) в пределах от $x=0$ до $x=4$. Поскольку верхняя граница описывается разными функциями на двух участках, интеграл необходимо разбить на две части:

$S = \int_{0}^{2} (\text{касательная } y=4x - \text{парабола}) \,dx + \int_{2}^{4} (\text{касательная } y=-4x+16 - \text{парабола}) \,dx$

$S = \int_{0}^{2} (4x - (-x^2 + 4x)) \,dx + \int_{2}^{4} ((-4x + 16) - (-x^2 + 4x)) \,dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{0}^{2} (4x + x^2 - 4x) \,dx + \int_{2}^{4} (-4x + 16 + x^2 - 4x) \,dx$

$S = \int_{0}^{2} x^2 \,dx + \int_{2}^{4} (x^2 - 8x + 16) \,dx$

Выражение во втором интеграле является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.

$S = \int_{0}^{2} x^2 \,dx + \int_{2}^{4} (x-4)^2 \,dx$

Вычисляем каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

$\int_{2}^{4} (x-4)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{(4-4)^3}{3} - \frac{(2-4)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$

Суммарная площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$