Номер 70, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Сначала упростим заданную функцию, вычислив определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

$y = \int_x^{x+1} 3t^2 dt = [t^3]_x^{x+1} = (x+1)^3 - x^3$

Раскроем скобки в выражении $(x+1)^3$:

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Подставим это обратно в выражение для $y$:

$y = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2 + 3x + 1$ и прямой $y = 1$.

Найдем точки пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем их уравнения:

$3x^2 + 3x + 1 = 1$

$3x^2 + 3x = 0$

$3x(x + 1) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Это будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций. Определим, какая функция является верхней на промежутке $[-1, 0]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -0.5$:

$y_{параболы} = 3(-0.5)^2 + 3(-0.5) + 1 = 3(0.25) - 1.5 + 1 = 0.75 - 1.5 + 1 = 0.25$

Значение на прямой $y_{прямой} = 1$. Так как $0.25 < 1$, на интервале $[-1, 0]$ прямая $y = 1$ находится выше параболы $y = 3x^2 + 3x + 1$.

Составим интеграл для вычисления площади $S$:

$S = \int_{-1}^{0} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx = \int_{-1}^{0} (1 - (3x^2 + 3x + 1)) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2 - 3x - 1) dx = \int_{-1}^{0} (-3x^2 - 3x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[-3\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = \left[-x^3 - \frac{3}{2}x^2\right]_{-1}^{0}$

$S = \left(-0^3 - \frac{3}{2}(0)^2\right) - \left(-(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2\right)$

$S = (0) - \left(-(-1) - \frac{3}{2}(1)\right)$

$S = 0 - \left(1 - \frac{3}{2}\right)$

$S = -\left(\frac{2}{2} - \frac{3}{2}\right)$

$S = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$