Номер 71, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Сначала определим вид и найдем площадь четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0).

Заметим, что у точек B и C одинаковая координата y=4, а у точек A и D одинаковая координата y=0. Это означает, что стороны BC и AD параллельны оси абсцисс (Ox), а следовательно, параллельны друг другу. Таким образом, четырехугольник ABCD является трапецией.

Найдем длины оснований и высоту трапеции:

• Длина нижнего основания AD: $d_{AD} = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2} = 8$.
• Длина верхнего основания BC: $d_{BC} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
• Высота трапеции h — это расстояние между параллельными прямыми y=0 и y=4, то есть $h = 4$.

Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ (кв. ед.).

Теперь рассмотрим, как парабола $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ делит эту трапецию. Парабола симметрична относительно оси Oy, как и трапеция. Найдем точки пересечения параболы со сторонами трапеции.

С верхним основанием BC (линия y=4): $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 4$ $\frac{1}{2}x^2 = 2$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$ Точки пересечения (-2; 4) и (2; 4) — это в точности вершины B и C трапеции.

С нижним основанием AD (линия y=0): $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$ $x^2 = -4$ Действительных корней нет, парабола не пересекает нижнее основание, так как ее вершина находится в точке (0; 2).

Таким образом, парабола делит трапецию на две фигуры.

$S_1$: площадь фигуры, ограниченной сверху отрезком BC (прямая $y=4$) и снизу дугой параболы $y=\frac{1}{2}x^2 + 2$ от $x=-2$ до $x=2$.

$S_2$: площадь оставшейся части трапеции.

Вычислим площадь $S_1$ с помощью определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от разности верхней и нижней функций: $S_1 = \int_{-2}^{2} \left(4 - \left(\frac{1}{2}x^2 + 2\right)\right) dx = \int_{-2}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx$

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ является четной (т.е. $f(-x) = f(x)$), интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен удвоенному интегралу по промежутку $[0, a]$: $S_1 = 2 \int_{0}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx = 2 \left[ 2x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}$

Подставим пределы интегрирования: $S_1 = 2 \left( \left(2 \cdot 2 - \frac{2^3}{6}\right) - \left(2 \cdot 0 - \frac{0^3}{6}\right) \right) = 2 \left( 4 - \frac{8}{6} \right) = 2 \left( 4 - \frac{4}{3} \right) = 2 \left( \frac{12-4}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь найдем площадь второй фигуры $S_2$: $S_2 = S_{ABCD} - S_1 = 24 - \frac{16}{3} = \frac{72}{3} - \frac{16}{3} = \frac{56}{3}$.

Наконец, найдем отношение площадей $S_1$ и $S_2$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{16/3}{56/3} = \frac{16}{56}$.

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 8: $\frac{16 \div 8}{56 \div 8} = \frac{2}{7}$.

Таким образом, парабола делит площадь трапеции в отношении 2:7.

Ответ: Парабола делит площадь четырехугольника в отношении 2:7.