Номер 72, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для решения задачи необходимо рассчитать силу гидростатического давления воды на вертикальную прямоугольную стенку шлюза. Давление воды линейно возрастает с глубиной по закону $P = \rho g y$, где $\rho$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения, а $y$ – глубина, отсчитываемая от поверхности.

Сила давления на всю поверхность шлюза находится путем интегрирования давления по площади. Для прямоугольной стенки шириной $L$ и высотой $H$ (полностью погруженной в воду) сила давления $F$ вычисляется по формуле:

$F = \int_{0}^{H} P(y) \cdot dA = \int_{0}^{H} (\rho g y) \cdot (L dy)$

Вынося константы за знак интеграла, получаем:

$F = \rho g L \int_{0}^{H} y dy = \rho g L \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{H} = \rho g L \frac{H^2}{2}$

Этот же результат можно получить, умножив площадь стенки $A = L \cdot H$ на давление в ее центре тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на половине его высоты, то есть на глубине $y_c = H/2$. Давление на этой глубине составляет $P_c = \rho g (H/2)$. Тогда сила равна:

$F = P_c \cdot A = \left(\rho g \frac{H}{2}\right) \cdot (L H) = \frac{\rho g L H^2}{2}$

Подставим известные значения:

• ширина шлюза $L = 18$ м;
• высота шлюза $H = 6$ м;
• плотность воды $\rho \approx 1000$ кг/м³;
• ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Выполним расчет:

$F = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 18 \text{ м} \cdot \frac{(6 \text{ м})^2}{2} = 9800 \cdot 18 \cdot \frac{36}{2} = 9800 \cdot 18 \cdot 18 = 9800 \cdot 324 = 3175200 \text{ Н}$

Результат можно выразить в меганьютонах (МН):

$F = 3.1752 \text{ МН}$

Ответ: Сила давления воды на шлюз составляет $3175200 \text{ Н}$ или примерно $3.18 \text{ МН}$.

2)

В этой задаче требуется найти формулу для силы давления воды на вертикальную стенку (бөгет), имеющую форму равнобокой трапеции. Основания трапеции равны $a$ (верхнее) и $b$ (нижнее), а высота равна $h$.

Как и в предыдущей задаче, сила давления находится интегрированием давления по площади. Введем систему координат: начало в центре верхнего основания на поверхности воды, ось $y$ направлена вертикально вниз. Глубина $y$ изменяется от $0$ до $h$.

Ширина трапеции $L$ на глубине $y$ изменяется линейно. При $y=0$ ширина равна $a$, а при $y=h$ ширина равна $b$. Функция ширины от глубины имеет вид:

$L(y) = a + \frac{b-a}{h}y$

Рассмотрим на стенке бесконечно тонкую горизонтальную полоску на глубине $y$ с высотой $dy$. Ее площадь $dA = L(y) dy$. Давление на этой глубине $P(y) = \rho g y$. Сила, действующая на эту полоску, равна $dF = P(y) dA$.

$dF = \rho g y \cdot \left( a + \frac{b-a}{h}y \right) dy$

Полная сила $F$ на всю стенку находится интегрированием этого выражения по глубине от $0$ до $h$:

$F = \int_{0}^{h} \rho g y \left( a + \frac{b-a}{h}y \right) dy = \rho g \int_{0}^{h} \left( ay + \frac{b-a}{h}y^2 \right) dy$

Вычислим интеграл:

$F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} = \rho g \left( a\frac{h^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{h^3}{3} \right)$

Упростим полученное выражение:

$F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} + \frac{(b-a)h^2}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} + \frac{b-a}{3} \right)$

Приводя слагаемые в скобках к общему знаменателю 6, получаем:

$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2(b-a)}{6} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2b - 2a}{6} \right) = \rho g h^2 \frac{a+2b}{6}$

Это и есть искомая формула для силы давления.

Ответ: Сила, с которой вода давит на бөгет, определяется формулой $F = \frac{\rho g h^2 (a+2b)}{6}$, где $\rho$ – плотность воды, а $g$ – ускорение свободного падения.