Номер 68, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Бұл есепті шешу үшін келесі қадамдарды орындаймыз: біріншіден, параболаның абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табамыз; екіншіден, сол нүктелерде жүргізілген жанамалардың теңдеулерін анықтаймыз; үшіншіден, пайда болған фигураның ауданын интеграл арқылы есептейміз.

1. Функция графигінің абсцисса осімен (Ox осімен) қиылысу нүктелерін табу

Графиктің Ox осімен қиылысу нүктелерінде $y=0$ болады. Сондықтан функцияның теңдеуін нөлге теңестіреміз:

$-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0$

Бұл теңдеуді $x$-ке қатысты шешеміз:

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$ және $x_2 = 2$.

Осылайша, қиылысу нүктелері $(-2, 0)$ және $(2, 0)$ болып табылады.

2. Қиылысу нүктелеріндегі жанамалардың теңдеулерін құру

$x_0$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуі $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ формуласымен анықталады. Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 1$

$f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot (2x) = -\frac{1}{2}x$

Енді әрбір нүкте үшін жанаманың теңдеуін табамыз:

а) $x_0 = -2$ нүктесі үшін:

$f(-2) = 0$

$f'(-2) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$

Жанаманың теңдеуі: $y - 0 = 1 \cdot (x - (-2)) \implies y = x + 2$.

ә) $x_0 = 2$ нүктесі үшін:

$f(2) = 0$

$f'(2) = -\frac{1}{2}(2) = -1$

Жанаманың теңдеуі: $y - 0 = -1 \cdot (x - 2) \implies y = -x + 2$.

3. Шектелген фигураның ауданын есептеу

Ізделінді фигура жоғарыдан $y = x+2$ және $y = -x+2$ жанамаларымен, ал төменнен $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ параболасымен шектелген. Бұл фигураның ауданын анықталған интеграл арқылы есептейміз.

Фигураның графикалық көрінісі:

Ауданды табу үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны алып, $[-2, 2]$ аралығында интегралдаймыз. Фигура $y$ осіне қатысты симметриялы болғандықтан, есептеуді жеңілдету үшін $[0, 2]$ аралығындағы ауданды тауып, оны екіге көбейтуге болады. $[0, 2]$ аралығында жоғарғы шекара $y = -x+2$ жанамасы болады.

$S = \int_{-2}^{0} \left( (x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx + \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx$

Симметрияны ескерсек:

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx = 2 \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 \right) dx$

Интегралды есептейміз:

$S = 2 \left[ \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2}$

$S = 2 \left( \left( \frac{2^3}{12} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0) \right)$

$S = 2 \left( \frac{8}{12} - \frac{4}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{2}{3} - 2 + 2 \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Сонымен, ізделінді фигураның ауданы $\frac{4}{3}$ квадрат бірлікке тең.

Ответ: $\frac{4}{3}$