Номер 66, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс ($Ox$), используется формула дисков:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

где $y = f(x)$ — функция, задающая кривую, а $[a, b]$ — интервал интегрирования.

1. Анализ функции и определение пределов интегрирования

Фигура ограничена кривыми $y = ||x - 1| - 2|$, $y = 0$ (ось $Ox$) и $x = 0$ (ось $Oy$).

Сначала найдем точки пересечения графика функции $y = ||x - 1| - 2|$ с осью $Ox$, решив уравнение $y=0$:

$||x - 1| - 2| = 0$

$|x - 1| - 2 = 0$

$|x - 1| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x - 1 = 2 \implies x = 3$ и $x - 1 = -2 \implies x = -1$.

Поскольку область ограничена также прямой $x=0$, мы рассматриваем часть фигуры на интервале от $x=0$ до $x=3$. Таким образом, пределы интегрирования: $a=0$ и $b=3$.

Теперь раскроем модули в функции на интервале $[0, 3]$. Точка "излома" внутреннего модуля — $x=1$, поэтому рассмотрим два подинтервала.

При $0 \le x < 1$ имеем $x-1 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = |(1-x) - 2| = |-x-1| = |x+1|$. На этом интервале $x+1 > 0$, следовательно, $y = x+1$.

При $1 \le x \le 3$ имеем $x-1 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = |(x-1) - 2| = |x-3|$. На этом интервале $x-3 \le 0$, следовательно, $y = -(x-3) = 3-x$.

Таким образом, на интервале интегрирования $[0, 3]$ функция является кусочно-линейной:

$y(x) = \begin{cases} x+1, & \text{при } 0 \le x < 1 \\ 3-x, & \text{при } 1 \le x \le 3 \end{cases}$

2. Графическое представление области

Область, вращаемая вокруг оси $Ox$, ограничена осями координат и графиком функции, состоящим из двух отрезков прямых: от точки $(0,1)$ до $(1,2)$ и от $(1,2)$ до $(3,0)$. На графике искомая область закрашена.

3. Вычисление объема

Интеграл для вычисления объема необходимо разбить на две части в соответствии с кусочным заданием функции:

$V = \pi \int_0^3 [y(x)]^2 dx = \pi \left( \int_0^1 (x+1)^2 dx + \int_1^3 (3-x)^2 dx \right)$

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Первый интеграл:

$\int_0^1 (x+1)^2 dx = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{7}{3}$

Второй интеграл (для удобства сделаем замену $u = 3-x$, $du = -dx$):

$\int_1^3 (3-x)^2 dx = \int_{u(1)}^{u(3)} u^2 (-du) = \int_2^0 -u^2 du = \int_0^2 u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Теперь найдем общий объем, сложив объемы, полученные на каждом участке:

$V = \pi \left( \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right) = \pi \left( \frac{15}{3} \right) = 5\pi$

Ответ: $5\pi$