Номер 59, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$, сначала найдем точки их пересечения. Приравняем выражения для $y$:
$x^2 = 3 - 2x$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $[-3, 1]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
Для первой функции: $y = 0^2 = 0$.
Для второй функции: $y = 3 - 2(0) = 3$.
Так как $3 > 0$, на интервале $[-3, 1]$ график функции $y = 3 - 2x$ находится выше графика $y = x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^2) dx = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx$
Найдем первообразную: $\int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x\right) \Big|_{-3}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1)\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{3} - 1 + 3\right) - \left(-(-\frac{27}{3}) - 9 - 9\right) = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - (9 - 9 - 9) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5+27}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$.
Точки пересечения: $x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x-1) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ проверим, какая функция больше. Возьмем $x = 0.5$:
$y = (0.5)^2 = 0.25$.
$y = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.
Так как $0.75 > 0.25$, парабола $y = 2x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2$.

Вычисляем площадь: $S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$
$S = \left(2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{1} = \left(x^2 - \frac{2x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{1}$
$S = \left(1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - (0 - 0) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $S = \frac{1}{3}$.

3)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 + 1$ и $y = -x^2 + 3$.
Точки пересечения: $x^2 + 1 = -x^2 + 3 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

На интервале $(-1, 1)$ возьмем $x = 0$:
$y = 0^2 + 1 = 1$.
$y = -0^2 + 3 = 3$.
Так как $3 > 1$, парабола $y = -x^2 + 3$ находится выше.

Вычисляем площадь: $S = \int_{-1}^{1} ((-x^2 + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx$
$S = \left(-2\frac{x^3}{3} + 2x\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(-\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2(1)\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2(-1)\right)$
$S = \left(-\frac{2}{3} + 2\right) - \left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

4)

Фигура ограничена тремя графиками: $y = 2x^2 + 1$ (парабола), $y = x + 2$ (прямая) и $y = 1.5$ (горизонтальная прямая).
Найдем точки пересечения:

• $y=2x^2+1$ и $y=x+2 \implies 2x^2-x-1=0 \implies x=-0.5, y=1.5$ и $x=1, y=3$.
• $y=2x^2+1$ и $y=1.5 \implies 2x^2=0.5 \implies x=\pm 0.5, y=1.5$.
• $y=x+2$ и $y=1.5 \implies x=-0.5, y=1.5$.

Фигура ограничена сверху прямой $y=x+2$. Нижняя граница состоит из двух частей: отрезка прямой $y=1.5$ на промежутке $x \in [-0.5, 0.5]$ и дуги параболы $y=2x^2+1$ на промежутке $x \in [0.5, 1]$. Площадь можно найти как сумму площадей двух участков:

1) Участок при $x \in [-0.5, 0.5]$. Верхняя граница $y=x+2$, нижняя $y=1.5$.
$S_1 = \int_{-0.5}^{0.5} ((x+2) - 1.5) dx = \int_{-0.5}^{0.5} (x+0.5) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 0.5x \right]_{-0.5}^{0.5}$
$S_1 = \left(\frac{(0.5)^2}{2} + 0.5(0.5)\right) - \left(\frac{(-0.5)^2}{2} + 0.5(-0.5)\right) = \left(\frac{0.25}{2} + 0.25\right) - \left(\frac{0.25}{2} - 0.25\right) = 0.375 - (-0.125) = 0.5$.

2) Участок при $x \in [0.5, 1]$. Верхняя граница $y=x+2$, нижняя $y=2x^2+1$.
$S_2 = \int_{0.5}^{1} ((x+2) - (2x^2+1)) dx = \int_{0.5}^{1} (-2x^2+x+1) dx$
$S_2 = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{0.5}^{1} = \left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1\right) - \left(-\frac{2(0.5)^3}{3} + \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5\right)$
$S_2 = \frac{5}{6} - \left(-\frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} - \left(\frac{-2+3+12}{24}\right) = \frac{5}{6} - \frac{13}{24} = \frac{20-13}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 0.5 + \frac{7}{24} = \frac{12}{24} + \frac{7}{24} = \frac{19}{24}$.

Ответ: $S = \frac{19}{24}$.