Номер 53, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения объема тела, полученного вращением параболы $y = x^2$ вокруг оси абсцисс (оси Ox) на отрезке от $x = 0$ до $x = 2$, используется метод дисков. Формула для вычисления объема:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае, функция $f(x) = y = x^2$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 dx$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$

Таким образом, объем тела вращения равен $\frac{32\pi}{5}$ кубических единиц.

Ответ: $\frac{32\pi}{5}$

2) Необходимо найти объем тела, полученного вращением параболы $y = x^2$ вокруг оси ординат (оси Oy). Указанный интервал по $x$ от -2 до 2 означает, что мы рассматриваем часть параболы, ограниченную по высоте. При $x = \pm 2$ соответствующее значение $y$ равно $y = (\pm 2)^2 = 4$. Таким образом, тело вращения представляет собой параболоид, ограниченный сверху плоскостью $y=4$.

Для вычисления объема будем использовать метод дисков, но с интегрированием по оси $y$. Формула для объема вращения вокруг оси Oy имеет вид:

$V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$

Сначала выразим $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = x^2$.

Пределы интегрирования по $y$ определяются диапазоном значений $y$ для рассматриваемой части параболы.Нижний предел $c$ соответствует $x=0$, то есть $y=0^2=0$.Верхний предел $d$ соответствует $x=\pm 2$, то есть $y=(\pm 2)^2=4$.Следовательно, мы интегрируем от $c=0$ до $d=4$.

Подставляем $x^2 = y$ и пределы интегрирования в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy$

Вычисляем полученный интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Таким образом, объем тела вращения равен $8\pi$ кубических единиц.

Ответ: $8\pi$