Номер 58, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Берілген парабола $y = 4x - x^2$.

Алдымен параболаның төбесінің координаталарын табамыз. Параболаның жалпы теңдеуі $y = ax^2 + bx + c$ түрінде беріледі. Бұл жағдайда $a = -1, b = 4, c = 0$.

Төбенің x-координатасы $x_v = -\frac{b}{2a}$ формуласымен анықталады.

$x_v = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

y-координатасын табу үшін $x_v = 2$ мәнін парабола теңдеуіне қоямыз:

$y_v = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$.

Сонымен, параболаның төбесі $A(2, 4)$ нүктесінде орналасқан.

Енді параболаның төбесі ($A(2, 4)$) мен координаталар басы ($O(0, 0)$) арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрамыз. Түзу координаталар басынан өтетіндіктен, оның теңдеуі $y = kx$ түрінде болады.

$A(2, 4)$ нүктесінің координаталарын түзу теңдеуіне қойып, $k$ коэффициентін табамыз:

$4 = k \cdot 2 \implies k = \frac{4}{2} = 2$.

Демек, түзудің теңдеуі: $y = 2x$.

Енді $y = 4x - x^2$ параболасы мен $y = 2x$ түзуімен шектелген фигураның ауданын есептейміз. Ол үшін қисықтардың қиылысу нүктелерін табамыз:

$4x - x^2 = 2x$

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

Қиылысу нүктелерінің абсциссалары $x_1 = 0$ және $x_2 = 2$ болады. Бұл интегралдау шектері.

$[0, 2]$ аралығында $y = 4x - x^2$ параболасының графигі $y = 2x$ түзуінен жоғары орналасқан. Мұны $x=1$ нүктесін тексеру арқылы көруге болады: $y_{парабола} = 4(1) - 1^2 = 3$, ал $y_{түзу} = 2(1) = 2$. $3 > 2$.

Фигураның ауданы $S$ анықталған интеграл арқылы табылады:

$S = \int_{0}^{2} ((4x - x^2) - 2x) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$.

Интегралды есептейміз:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2)

Берілген парабола $y = x^2 - 6x$.

Алдымен параболаның төбесінің координаталарын табамыз. Бұл жерде $a = 1, b = -6, c = 0$.

Төбенің x-координатасы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$.

Төбенің y-координатасы:

$y_v = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$.

Сонымен, параболаның төбесі $B(3, -9)$ нүктесінде орналасқан.

Параболаның төбесі ($B(3, -9)$) мен координаталар басы ($O(0, 0)$) арқылы өтетін түзудің теңдеуін табамыз. Түзудің теңдеуі $y = kx$ түрінде болады.

$B(3, -9)$ нүктесінің координаталарын қоямыз:

$-9 = k \cdot 3 \implies k = \frac{-9}{3} = -3$.

Түзудің теңдеуі: $y = -3x$.

Енді $y = x^2 - 6x$ параболасы мен $y = -3x$ түзуімен шектелген фигураның ауданын есептейміз. Қиылысу нүктелерін табамыз:

$x^2 - 6x = -3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Қиылысу нүктелерінің абсциссалары $x_1 = 0$ және $x_2 = 3$. Бұл интегралдау шектері.

$[0, 3]$ аралығында $y = -3x$ түзуінің графигі $y = x^2 - 6x$ параболасынан жоғары орналасқан. Мұны $x=1$ нүктесін тексеру арқылы көруге болады: $y_{түзу} = -3(1) = -3$, ал $y_{парабола} = (1)^2 - 6(1) = -5$. $-3 > -5$.

Фигураның ауданы $S$ анықталған интеграл арқылы табылады:

$S = \int_{0}^{3} (-3x - (x^2 - 6x)) dx = \int_{0}^{3} (-3x - x^2 + 6x) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$.

Интегралды есептейміз:

$S = \left[ 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{3(3)^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$