Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = x^2 - 4x - 4$, $y = -x$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для $y$:
$x^2 - 4x - 4 = -x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Эти значения являются пределами интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $[-1, 4]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
Для первой функции: $y = 0^2 - 4(0) - 4 = -4$
Для второй функции: $y = -0 = 0$
Так как $0 > -4$, на интервале $[-1, 4]$ график функции $y = -x$ находится выше графика функции $y = x^2 - 4x - 4$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя.
В нашем случае $a = -1$, $b = 4$, $f(x) = -x$, $g(x) = x^2 - 4x - 4$.
$S = \int_{-1}^{4} ((-x) - (x^2 - 4x - 4)) dx = \int_{-1}^{4} (-x - x^2 + 4x + 4) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4(-1) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{2+9-24}{6} \right)$
$S = \left( 40 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{120-64}{3} + \frac{13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112+13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $S = \frac{125}{6}$

2) $y = 3x^2$, $y = 2x$

Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их:
$3x^2 = 2x$
$3x^2 - 2x = 0$
$x(3x - 2) = 0$
Отсюда получаем точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$. Это будут пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $[0, \frac{2}{3}]$. Возьмем тестовую точку, например, $x=\frac{1}{3}$:
Для первой функции: $y = 3(\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
Для второй функции: $y = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, на интервале $[0, \frac{2}{3}]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика $y = 3x^2$.

Площадь фигуры найдем по интегралу разности функций:
$S = \int_{0}^{2/3} (2x - 3x^2) dx$

Вычисляем интеграл:
$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2/3} = \left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{2/3}$
$S = \left( (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^3 \right) - (0^2 - 0^3) = \left( \frac{4}{9} - \frac{8}{27} \right) - 0$
$S = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $S = \frac{4}{27}$

1)

Первым шагом найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(4; 0)$ и $(0; 4)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Подставив координаты точки $(0; 4)$, получим: $4 = k \cdot 0 + b$, откуда $b=4$.

Теперь подставим координаты точки $(4; 0)$ и найденное значение $b$: $0 = k \cdot 4 + 4$, откуда $4k = -4$, то есть $k = -1$.

Таким образом, уравнение прямой: $y = -x + 4$.

Далее, найдем точки пересечения параболы $y = 4x - x^2$ и прямой $y = -x + 4$, приравняв их уравнения:

$4x - x^2 = -x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху параболой $y_1 = 4x - x^2$ и снизу прямой $y_2 = -x + 4$ на интервале $[1, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_1^4 (y_1 - y_2) dx = \int_1^4 ((4x - x^2) - (-x + 4)) dx = \int_1^4 (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_1^4 = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left(-\frac{1}{3} + 2.5 - 4 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 24 \right) - \left(-\frac{1}{3} - 1.5 \right) = \left(\frac{-64+72}{3} \right) - \left(\frac{-2-9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Графическое представление задачи:

Ответ: 4,5

2)

Фигура ограничена параболой $y = 3x^2$ (при $x \le 0$), осью абсцисс ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(0; 4,5)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Из точки $(0; 4,5)$ следует, что $b = 4,5$.

Подставив точку $(-3; 0)$: $0 = k(-3) + 4,5 \Rightarrow 3k = 4,5 \Rightarrow k = 1,5$.

Уравнение прямой: $y = 1,5x + 4,5$.

Теперь найдем точку пересечения параболы $y = 3x^2$ и прямой $y = 1,5x + 4,5$ при $x \le 0$.

$3x^2 = 1,5x + 4,5$

$3x^2 - 1,5x - 4,5 = 0$ | $\cdot 2$

$6x^2 - 3x - 9 = 0$ | $: 3$

$2x^2 - x - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{6}{4} = 1,5$ (не удовлетворяет условию $x \le 0$).

$x_2 = \frac{-4}{4} = -1$ (удовлетворяет условию).

Таким образом, искомая область состоит из двух частей. Точка $x=-1$ является границей между ними.

1. На интервале $[-3, -1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 1,5x + 4,5$ и снизу осью $y=0$.

2. На интервале $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y = 3x^2$ и снизу осью $y=0$.

Площадь $S$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S = S_1 + S_2 = \int_{-3}^{-1} (1,5x + 4,5) dx + \int_{-1}^{0} 3x^2 dx$

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \left. \left(\frac{1,5x^2}{2} + 4,5x \right) \right|_{-3}^{-1} = \left. \left(0,75x^2 + 4,5x \right) \right|_{-3}^{-1}$

$S_1 = (0,75(-1)^2 + 4,5(-1)) - (0,75(-3)^2 + 4,5(-3)) = (0,75 - 4,5) - (0,75 \cdot 9 - 13,5)$

$S_1 = (-3,75) - (6,75 - 13,5) = -3,75 - (-6,75) = 3$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{-1}^{0} 3x^2 dx = \left. x^3 \right|_{-1}^{0} = 0^3 - (-1)^3 = 0 - (-1) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3 + 1 = 4$.

Графическое представление задачи:

Ответ: 4

1) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{8}x^3$ и $y = 0.5x$, сначала найдем точки пересечения этих кривых, приравняв их уравнения: $\frac{1}{8}x^3 = 0.5x$. Преобразуем уравнение: $\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x = 0$, умножим на 8, чтобы избавиться от дробей: $x^3 - 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 4) = 0$, что дает $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Таким образом, точки пересечения графиков находятся при $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$. Фигура, ограниченная данными кривыми, состоит из двух частей, симметричных относительно начала координат, поскольку обе функции, $f(x) = \frac{1}{8}x^3$ и $g(x) = 0.5x$, являются нечетными. Следовательно, можно вычислить площадь одной из частей (например, на промежутке $[0, 2]$) и удвоить результат. На интервале $[0, 2]$ определим, какая из функций больше. Возьмем тестовую точку, например $x=1$: для первой функции $y = \frac{1}{8}(1)^3 = \frac{1}{8}$, для второй $y = 0.5(1) = 0.5$. Так как $0.5 > \frac{1}{8}$, на интервале $[0, 2]$ прямая $y = 0.5x$ лежит выше кубической параболы $y = \frac{1}{8}x^3$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Учитывая симметрию, имеем: $S = 2 \int_{0}^{2} (0.5x - \frac{1}{8}x^3) dx$. Вычислим определенный интеграл: $S = 2 \left[ \frac{0.5x^2}{2} - \frac{1}{8} \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{32} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (\frac{2^2}{4} - \frac{2^4}{32}) - (\frac{0^2}{4} - \frac{0^4}{32}) \right) = 2 \left( \frac{4}{4} - \frac{16}{32} \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{4}x^3$ и $y = -x$, найдем их точки пересечения: $-\frac{1}{4}x^3 = -x$. Умножим обе части на -4: $x^3 = 4x$. Перенесем все в одну сторону: $x^3 - 4x = 0$, или $x(x^2 - 4) = 0$, откуда $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Точки пересечения находятся при $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$. Аналогично первому случаю, обе функции являются нечетными, поэтому фигура симметрична относительно начала координат. Мы можем вычислить площадь на промежутке $[0, 2]$ и умножить ее на 2. Сравним функции на интервале $[0, 2]$, взяв тестовую точку $x=1$: для первой функции $y = -\frac{1}{4}(1)^3 = -\frac{1}{4}$, для второй $y = -1$. Поскольку $-\frac{1}{4} > -1$, на интервале $[0, 2]$ кривая $y = -\frac{1}{4}x^3$ находится выше прямой $y = -x$. Площадь $S$ равна: $S = 2 \int_{0}^{2} \left( -\frac{1}{4}x^3 - (-x) \right) dx = 2 \int_{0}^{2} \left( x - \frac{1}{4}x^3 \right) dx$. Вычислим интеграл: $S = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4} \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{16} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (\frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{16}) - 0 \right) = 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{16}{16} \right) = 2 (2 - 1) = 2$.
Ответ: 2

1)

Берілген парабола $y = 4x - x^2$.

Алдымен параболаның төбесінің координаталарын табамыз. Параболаның жалпы теңдеуі $y = ax^2 + bx + c$ түрінде беріледі. Бұл жағдайда $a = -1, b = 4, c = 0$.

Төбенің x-координатасы $x_v = -\frac{b}{2a}$ формуласымен анықталады.

$x_v = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

y-координатасын табу үшін $x_v = 2$ мәнін парабола теңдеуіне қоямыз:

$y_v = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$.

Сонымен, параболаның төбесі $A(2, 4)$ нүктесінде орналасқан.

Енді параболаның төбесі ($A(2, 4)$) мен координаталар басы ($O(0, 0)$) арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрамыз. Түзу координаталар басынан өтетіндіктен, оның теңдеуі $y = kx$ түрінде болады.

$A(2, 4)$ нүктесінің координаталарын түзу теңдеуіне қойып, $k$ коэффициентін табамыз:

$4 = k \cdot 2 \implies k = \frac{4}{2} = 2$.

Демек, түзудің теңдеуі: $y = 2x$.

Енді $y = 4x - x^2$ параболасы мен $y = 2x$ түзуімен шектелген фигураның ауданын есептейміз. Ол үшін қисықтардың қиылысу нүктелерін табамыз:

$4x - x^2 = 2x$

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

Қиылысу нүктелерінің абсциссалары $x_1 = 0$ және $x_2 = 2$ болады. Бұл интегралдау шектері.

$[0, 2]$ аралығында $y = 4x - x^2$ параболасының графигі $y = 2x$ түзуінен жоғары орналасқан. Мұны $x=1$ нүктесін тексеру арқылы көруге болады: $y_{парабола} = 4(1) - 1^2 = 3$, ал $y_{түзу} = 2(1) = 2$. $3 > 2$.

Фигураның ауданы $S$ анықталған интеграл арқылы табылады:

$S = \int_{0}^{2} ((4x - x^2) - 2x) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$.

Интегралды есептейміз:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2)

Берілген парабола $y = x^2 - 6x$.

Алдымен параболаның төбесінің координаталарын табамыз. Бұл жерде $a = 1, b = -6, c = 0$.

Төбенің x-координатасы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$.

Төбенің y-координатасы:

$y_v = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$.

Сонымен, параболаның төбесі $B(3, -9)$ нүктесінде орналасқан.

Параболаның төбесі ($B(3, -9)$) мен координаталар басы ($O(0, 0)$) арқылы өтетін түзудің теңдеуін табамыз. Түзудің теңдеуі $y = kx$ түрінде болады.

$B(3, -9)$ нүктесінің координаталарын қоямыз:

$-9 = k \cdot 3 \implies k = \frac{-9}{3} = -3$.

Түзудің теңдеуі: $y = -3x$.

Енді $y = x^2 - 6x$ параболасы мен $y = -3x$ түзуімен шектелген фигураның ауданын есептейміз. Қиылысу нүктелерін табамыз:

$x^2 - 6x = -3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Қиылысу нүктелерінің абсциссалары $x_1 = 0$ және $x_2 = 3$. Бұл интегралдау шектері.

$[0, 3]$ аралығында $y = -3x$ түзуінің графигі $y = x^2 - 6x$ параболасынан жоғары орналасқан. Мұны $x=1$ нүктесін тексеру арқылы көруге болады: $y_{түзу} = -3(1) = -3$, ал $y_{парабола} = (1)^2 - 6(1) = -5$. $-3 > -5$.

Фигураның ауданы $S$ анықталған интеграл арқылы табылады:

$S = \int_{0}^{3} (-3x - (x^2 - 6x)) dx = \int_{0}^{3} (-3x - x^2 + 6x) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$.

Интегралды есептейміз:

$S = \left[ 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{3(3)^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$, сначала найдем точки их пересечения. Приравняем выражения для $y$:
$x^2 = 3 - 2x$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $[-3, 1]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
Для первой функции: $y = 0^2 = 0$.
Для второй функции: $y = 3 - 2(0) = 3$.
Так как $3 > 0$, на интервале $[-3, 1]$ график функции $y = 3 - 2x$ находится выше графика $y = x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^2) dx = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx$
Найдем первообразную: $\int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x\right) \Big|_{-3}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1)\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{3} - 1 + 3\right) - \left(-(-\frac{27}{3}) - 9 - 9\right) = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - (9 - 9 - 9) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5+27}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$.
Точки пересечения: $x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x-1) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ проверим, какая функция больше. Возьмем $x = 0.5$:
$y = (0.5)^2 = 0.25$.
$y = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.
Так как $0.75 > 0.25$, парабола $y = 2x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2$.

Вычисляем площадь: $S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$
$S = \left(2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{1} = \left(x^2 - \frac{2x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{1}$
$S = \left(1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - (0 - 0) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $S = \frac{1}{3}$.

3)

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 + 1$ и $y = -x^2 + 3$.
Точки пересечения: $x^2 + 1 = -x^2 + 3 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

На интервале $(-1, 1)$ возьмем $x = 0$:
$y = 0^2 + 1 = 1$.
$y = -0^2 + 3 = 3$.
Так как $3 > 1$, парабола $y = -x^2 + 3$ находится выше.

Вычисляем площадь: $S = \int_{-1}^{1} ((-x^2 + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx$
$S = \left(-2\frac{x^3}{3} + 2x\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(-\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2(1)\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2(-1)\right)$
$S = \left(-\frac{2}{3} + 2\right) - \left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

4)

Фигура ограничена тремя графиками: $y = 2x^2 + 1$ (парабола), $y = x + 2$ (прямая) и $y = 1.5$ (горизонтальная прямая).
Найдем точки пересечения:

• $y=2x^2+1$ и $y=x+2 \implies 2x^2-x-1=0 \implies x=-0.5, y=1.5$ и $x=1, y=3$.
• $y=2x^2+1$ и $y=1.5 \implies 2x^2=0.5 \implies x=\pm 0.5, y=1.5$.
• $y=x+2$ и $y=1.5 \implies x=-0.5, y=1.5$.

Фигура ограничена сверху прямой $y=x+2$. Нижняя граница состоит из двух частей: отрезка прямой $y=1.5$ на промежутке $x \in [-0.5, 0.5]$ и дуги параболы $y=2x^2+1$ на промежутке $x \in [0.5, 1]$. Площадь можно найти как сумму площадей двух участков:

1) Участок при $x \in [-0.5, 0.5]$. Верхняя граница $y=x+2$, нижняя $y=1.5$.
$S_1 = \int_{-0.5}^{0.5} ((x+2) - 1.5) dx = \int_{-0.5}^{0.5} (x+0.5) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 0.5x \right]_{-0.5}^{0.5}$
$S_1 = \left(\frac{(0.5)^2}{2} + 0.5(0.5)\right) - \left(\frac{(-0.5)^2}{2} + 0.5(-0.5)\right) = \left(\frac{0.25}{2} + 0.25\right) - \left(\frac{0.25}{2} - 0.25\right) = 0.375 - (-0.125) = 0.5$.

2) Участок при $x \in [0.5, 1]$. Верхняя граница $y=x+2$, нижняя $y=2x^2+1$.
$S_2 = \int_{0.5}^{1} ((x+2) - (2x^2+1)) dx = \int_{0.5}^{1} (-2x^2+x+1) dx$
$S_2 = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{0.5}^{1} = \left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1\right) - \left(-\frac{2(0.5)^3}{3} + \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5\right)$
$S_2 = \frac{5}{6} - \left(-\frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} - \left(\frac{-2+3+12}{24}\right) = \frac{5}{6} - \frac{13}{24} = \frac{20-13}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 0.5 + \frac{7}{24} = \frac{12}{24} + \frac{7}{24} = \frac{19}{24}$.

Ответ: $S = \frac{19}{24}$.

Для нахождения объема тела, образованного вращением кривой, заданной функцией $y = f(x)$, вокруг оси абсцисс (оси Ox) на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

В данной задаче нам даны:

1. Функция: $y = \frac{1}{x}$ (гипербола).

2. Пределы интегрирования: от $a = 1$ до $b = 3$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления объема:

$V = \pi \int_1^3 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$V = \pi \int_1^3 \frac{1}{x^2} dx = \pi \int_1^3 x^{-2} dx$

Теперь найдем первообразную для функции $f(x) = x^{-2}$. По правилу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^3$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Выполним вычисления в скобках:

$V = \pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \right) = \pi \left( \frac{2}{3} \right)$

Таким образом, объем тела вращения равен:

$V = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{2\pi}{3}$

Материалдық нүктенің жүрген жолын табу үшін оның жылдамдығының уақыт бойынша анықталған интегралын алу керек. Жылдамдық функциясы $v(t) = Rt + a\sqrt{t}$ түрінде берілген. Есептеуді $t=0$-ден $t=4$-ке дейінгі уақыт аралығында жүргіземіз.

Жолды (s) есептеу формуласы келесідей болады:$s = \int_{0}^{4} v(t) dt = \int_{0}^{4} (Rt + a\sqrt{t}) dt$

Интегралды екіге бөліп, әрқайсысын жеке есептейміз:$s = \int_{0}^{4} Rt dt + \int_{0}^{4} a\sqrt{t} dt$

Дәрежелік функцияның интегралын табу ережесін $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ және $\sqrt{t} = t^{1/2}$ екенін ескеріп, алғашқы функцияны табамыз. Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, анықталған интегралды есептейміз:$s = \left[ R\frac{t^2}{2} + a\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{Rt^2}{2} + \frac{2a t^{3/2}}{3} \right]_{0}^{4}$

Интегралдау шектерін ($t=4$ және $t=0$) қоямыз:$s = \left( \frac{R \cdot 4^2}{2} + \frac{2a \cdot 4^{3/2}}{3} \right) - \left( \frac{R \cdot 0^2}{2} + \frac{2a \cdot 0^{3/2}}{3} \right)$

Өрнекті ықшамдаймыз. $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ екенін ескереміз:$s = \left( \frac{R \cdot 16}{2} + \frac{2a \cdot 8}{3} \right) - (0 + 0) = 8R + \frac{16a}{3}$

Ответ: $8R + \frac{16a}{3}$.

1)

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin(2x) dx $ сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = \sin(2x) $.

$ F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin(2x) dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) $

$ = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Зная, что $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $

Этот интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = \sin(2x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

2)

Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) dx $, найдем первообразную для $ f(x) = \cos(3x) $.

$ F(x) = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x) $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) dx = \left[\frac{1}{3}\sin(3x)\right]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{3}\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) $

$ = \frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(0) = \frac{1}{3} $

Этот интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \cos(3x) $, осью абсцисс $ Ox $ и осью ординат $ Oy $ (прямой $ x=0 $).

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3)

Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sin^2(x) dx $ используем тригонометрическую формулу понижения степени: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

$ \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sin^2(x) dx = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} (1 - \cos(2x)) dx $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ g(x) = 1 - \cos(2x) $:

$ G(x) = \int (1 - \cos(2x)) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x) $

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} $

Интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sin^2(x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} $

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$ и ее производной, выполним следующие действия.

1. Найдём производную функции.

Исходная функция: $f(x) = x^2 - 2x + 1$.

Её производная, которую обозначим $g(x)$, равна:

$g(x) = f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2$.

2. Найдём точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$.

Для этого приравняем выражения для функций:

$f(x) = g(x)$

$x^2 - 2x + 1 = 2x - 2$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x - 2x + 1 + 2 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Эти значения являются пределами интегрирования.

3. Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y_{верх}$ и $y_{нижн}$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

В нашем случае $a=1$, $b=3$. Чтобы определить, какая из функций является верхней на интервале $(1, 3)$, выберем пробную точку, например, $x=2$:

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

$g(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Поскольку $g(2) > f(2)$, на интервале $(1, 3)$ график производной $g(x)=2x-2$ расположен выше графика функции $f(x)=x^2-2x+1$.

Значит, $y_{верх} = g(x)$ и $y_{нижн} = f(x)$. Интеграл для площади будет:

$S = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{1}^{3} ((2x - 2) - (x^2 - 2x + 1)) dx$

$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \bigg|_{1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right)$

$S = \left( -\frac{27}{3} + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right)$

$S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

По условию задачи, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - 4$.
1. Нахождение первообразной $F(x)$
Общий вид первообразной для $f(x)$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int f(x) \,dx = \int (2x - 4) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^2 - 4x + C$
где $C$ - произвольная постоянная.

2. Нахождение константы C
Известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$. Это означает, что при $x=0$, значение функции $F(0)=4$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:
$F(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + C = 4$
$C = 4$
Таким образом, конкретная первообразная имеет вид:
$F(x) = x^2 - 4x + 4$
Можно заметить, что это формула полного квадрата: $F(x) = (x-2)^2$.

3. Нахождение пределов интегрирования
Площадь фигуры ограничена графиками функций $f(x) = 2x - 4$ и $F(x) = x^2 - 4x + 4$. Чтобы найти пределы интегрирования, необходимо найти точки пересечения этих графиков, решив уравнение $f(x) = F(x)$:
$2x - 4 = x^2 - 4x + 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 4 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, пределы интегрирования - от $a=2$ до $b=4$.

4. Вычисление площади фигуры
Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиками двух функций, вычисляется как интеграл от разности этих функций в найденных пределах. Формула площади:
$S = \int_a^b |F(x) - f(x)| \,dx$
Нам нужно определить, какая из функций больше на интервале $(2, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=3$:
$f(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$
$F(3) = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
Поскольку $f(3) > F(3)$, на интервале $(2, 4)$ график функции $f(x)$ расположен выше графика $F(x)$.
Таким образом, площадь вычисляется по интегралу:
$S = \int_2^4 (f(x) - F(x)) \,dx = \int_2^4 ((2x - 4) - (x^2 - 4x + 4)) \,dx$
$S = \int_2^4 (2x - 4 - x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_2^4 (-x^2 + 6x - 8) \,dx$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 8x \right) \right|_2^4 = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x \right) \right|_2^4$
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
$S = \left( -\frac{4^3}{3} + 3(4^2) - 8(4) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + 3(2^2) - 8(2) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 3(16) - 32 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 3(4) - 16 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 48 - 32 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 12 - 16 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 16 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 4 \right)$
$S = -\frac{64}{3} + 16 + \frac{8}{3} + 4$
$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{8}{3} \right) + (16 + 4)$
$S = -\frac{56}{3} + 20 = -\frac{56}{3} + \frac{60}{3} = \frac{4}{3}$

Графики функций и искомая площадь:

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ квадратных единиц.