Страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. По условию задачи, необходимо найти функцию $f(x)$, для которой первообразной (алғашқы функциясы) является функция $F(x) = 2 - \cos x$. Согласно определению первообразной, производная от первообразной функции $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$. Таким образом, чтобы найти $f(x)$, нам нужно вычислить производную от $F(x)$.

$f(x) = F'(x) = (2 - \cos x)'$

Используем правила дифференцирования: производная константы равна нулю ($(c)'=0$), а производная функции косинус равна минус синус ($(\cos x)' = -\sin x$). Производная разности функций равна разности их производных.

Вычисляем производную:

$f(x) = (2)' - (\cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$

Следовательно, искомая функция — это $f(x) = \sin x$. Этот результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: B. $\sin x$.

Берілген $f(x) = 5x^4 - 2x$ функциясы үшін алғашқы функцияны табу керек. Алғашқы функция $F(x)$ деп, оның туындысы $f(x)$-ке тең болатын функцияны айтады. Яғни, $F'(x) = f(x)$ шарты орындалуы тиіс.

Бұл есепті шығарудың екі тәсілі бар: берілген функцияны интегралдау арқылы жалпы алғашқы функцияны табу, немесе ұсынылған нұсқалардың әрқайсысының туындысын тауып, $f(x)$-пен салыстыру.

1-тәсіл: Интегралдау

$f(x)$ функциясының алғашқы функциясын табу үшін оны интегралдаймыз. Дәрежелік функцияны интегралдаудың негізгі формуласы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (5x^4 - 2x) dx = \int 5x^4 dx - \int 2x dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$F(x) = x^5 - x^2 + C$

Мұндағы $C$ — кез келген тұрақты сан. Алынған $F(x) = x^5 - x^2 + C$ жалпы формуласын ұсынылған нұсқалармен салыстырамыз. Егер $C=0$ болса, біз D нұсқасындағы $F(x) = x^5 - x^2$ функциясын аламыз.

2-тәсіл: Дифференциалдау арқылы тексеру

Әр нұсқаның туындысын тауып, оның $f(x) = 5x^4 - 2x$ функциясына тең екенін тексереміз.

A. $F(x) = 20x^4 + 8$. Туындысы: $F'(x) = (20x^4 + 8)' = 20 \cdot 4x^3 + 0 = 80x^3$. Бұл $f(x)$-ке тең емес.

B. $F(x) = x^5 + x^2$. Туындысы: $F'(x) = (x^5 + x^2)' = 5x^4 + 2x$. Бұл $f(x)$-ке тең емес (екінші мүшенің таңбасы қате).

C. $F(x) = 20x^4 - 8$. Туындысы: $F'(x) = (20x^4 - 8)' = 20 \cdot 4x^3 - 0 = 80x^3$. Бұл $f(x)$-ке тең емес.

D. $F(x) = x^5 - x^2$. Туындысы: $F'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$. Бұл $f(x)$-ке толығымен сәйкес келеді.

Екі тәсіл де D нұсқасының дұрыс жауап екенін растайды.

Ответ: D.

Для того чтобы определить, на каком рисунке изображен график первообразной функции, необходимо вспомнить определение первообразной и ее геометрический смысл.

Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, что для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Из определения следует, что если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ имеет вид $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Это означает, что все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на константу.

Геометрически это свойство выражается в том, что графики всех первообразных для данной функции представляют собой семейство кривых, которые получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат ($Oy$). Важным следствием является то, что касательные к графикам всех первообразных в точках с одинаковой абсциссой $x_0$ параллельны друг другу, так как их угловой коэффициент равен одному и тому же числу $f(x_0)$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

A

На данном рисунке изображен график одной функции. У этой функции есть точки излома (острые углы), в которых она не дифференцируема. Кроме того, это не семейство кривых, а график одной функции.

B

Здесь также изображен график одной функции, имеющей точки излома, в которых производная не существует. Этот график не представляет собой семейство кривых, полученных параллельным переносом.

C

На этом рисунке мы видим семейство гладких кривых. Каждая кривая получается из другой сдвигом по вертикали. Касательные к этим кривым в точках с одинаковой абсциссой параллельны. Такое изображение в точности соответствует геометрическому смыслу совокупности всех первообразных для некоторой функции.

D

График, представленный на этом рисунке, имеет разрывы (скачки). Первообразная функция по определению является дифференцируемой, а любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Следовательно, функция с разрывами не может быть первообразной.

Таким образом, единственный график, который корректно изображает семейство первообразных функций, — это график на рисунке C.

Ответ: C

Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную от функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$. Для удобства представим ее в виде степенной функции: $F(x) = 3(x-2)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = (3(x-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -3(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Мы видим, что найденная производная $F'(x)$ в точности совпадает с функцией $f(x) = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Таким образом, равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется.

Однако, по определению, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на заданном интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Функция $F(x) = \frac{3}{x-2}$ не определена и, следовательно, не дифференцируема в точке $x = 2$, так как знаменатель обращается в ноль. Это означает, что $F(x)$ может быть первообразной для $f(x)$ только на тех промежутках, которые не содержат точку $x = 2$.

Проанализируем предложенные варианты:

A. $(-\infty; 0)$

Этот интервал не содержит точку $x=2$. На всем этом интервале $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$. Значит, здесь $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

B. $(2; +\infty)$

Этот интервал также не содержит точку $x=2$. На всем этом интервале $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$. Значит, здесь $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

C. $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

Это множество является областью определения для $F(x)$ и $f(x)$. Хотя в каждой точке этого множества $F'(x)=f(x)$, оно не является единым непрерывным интервалом, а представляет собой объединение двух интервалов. По строгой теореме, первообразная определяется на интервале.

D. $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$

Это множество является объединением двух интервалов. Рассмотрим второй интервал: $(-2; 4)$. Этот интервал содержит точку $x=2$, в которой функция $F(x)$ не определена и не дифференцируема. Следовательно, на интервале $(-2; 4)$ функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$. А раз это так для части множества, то и для всего множества $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$ она не является первообразной.

Вопрос ставится о том, на каком из предложенных промежутков функция не является первообразной. Вариант D — единственный, который содержит точку разрыва $x=2$.

Ответ: D. $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$.

Для того чтобы найти первообразную функции $y(x) = x^2 - 2x$, которая проходит через точку A(-1; -1), необходимо выполнить два шага: сначала найти общий вид первообразной, а затем, используя координаты точки, найти значение константы интегрирования $C$.

1. Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $y(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла:

$F(x) = \int y(x) dx = \int (x^2 - 2x) dx$

Используем основную формулу интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^2 dx - \int 2x dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$

Это выражение является общим видом для всех первообразных данной функции, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Определение значения константы C

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку A(-1; -1). Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ равно -1, то есть $F(-1) = -1$. Подставим эти значения в полученное общее уравнение для первообразной:

$-1 = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + C$

Вычислим значения степеней:

$-1 = \frac{-1}{3} - 1 + C$

Теперь решим уравнение относительно $C$:

$-1 + 1 = -\frac{1}{3} + C$

$0 = -\frac{1}{3} + C$

$C = \frac{1}{3}$

3. Запись итоговой функции

Подставим найденное значение $C = \frac{1}{3}$ в общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом C.

Ответ: C. $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$