Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функция $f(x) = 5\sin(0.5x)$. Осы функцияның алғашқы функциясын табу үшін интегралдаудың (алғашқы функцияны табудың) негізгі ережелерін қарастырайық.

Алғашқы функцияны табу $F(x) = \int f(x) dx$ интегралын есептеуді білдіреді. Демек, біз $\int 5\sin(0.5x) dx$ интегралын табуымыз керек.

Математикалық анализде алғашқы функцияны табудың келесі негізгі ережелері бар:

1-ереже: Қосындының (айырымның) алғашқы функциясы. Егер $F(x)$ және $G(x)$ сәйкесінше $f(x)$ және $g(x)$ функцияларының алғашқы функциялары болса, онда $f(x) \pm g(x)$ функциясының алғашқы функциясы $F(x) \pm G(x)$ болады. Берілген $5\sin(0.5x)$ функциясы қосынды немесе айырым түрінде емес, сондықтан бұл ереже қолданылмайды.

2-ереже: Тұрақты көбейткішті шығару ережесі. Егер $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы болса, онда $k \cdot f(x)$ функциясының алғашқы функциясы $k \cdot F(x)$ болады. Яғни, $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$.

Біздің жағдайда $f(x) = 5\sin(0.5x)$, мұнда $k=5$ тұрақты көбейткіш болып табылады. Осы ережені қолданып, тұрақтыны интеграл таңбасының алдына шығарамыз:

$\int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx$

Осылайша, 2-ереже қолданылады.

3-ереже: Күрделі функцияның алғашқы функциясын табу ережесі. Егер $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы болса, онда $f(kx+b)$ түріндегі күрделі функцияның алғашқы функциясы $\frac{1}{k}F(kx+b)$ болады. Формула түрінде: $\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F(kx+b) + C$.

Біздің интегралдың ішінде $\sin(0.5x)$ функциясы бар. Бұл $f(u)=\sin u$ және ішкі функциясы $u=0.5x$ болатын күрделі функция. Мұнда $k=0.5$ және $b=0$. $\sin x$ функциясының алғашқы функциясы $-\cos x$ екенін білеміз. Ендеше, 3-ережені қолданамыз:

$\int \sin(0.5x) dx = \frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x)) + C = -2\cos(0.5x) + C$

Осылайша, 3-ереже де қолданылады.

Сонымен, $f(x) = 5\sin(0.5x)$ функциясының толық алғашқы функциясын табу үшін екі ережені де қолдану қажет:

$F(x) = 5 \int \sin(0.5x) dx = 5 \cdot (-2\cos(0.5x)) + C = -10\cos(0.5x) + C$.

Қорытындылай келе, берілген функцияның алғашқы функциясын жазу үшін 2-ереже (тұрақты көбейткішті шығару) және 3-ереже (күрделі функцияны интегралдау) қолданылады.

Ответ: С. 2- және 3-ереже.

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{2}^{4} 10x \,dx $ используется формула Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.
1. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 10x $. Постоянный множитель 10 можно вынести за знак интеграла. Первообразная для степенной функции $ x^n $ находится по формуле $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. В данном случае $ n=1 $.
$ F(x) = \int 10x \,dx = 10 \int x \,dx = 10 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 10 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x^2 $.
2. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний ($b=4$) и нижний ($a=2$) пределы интегрирования в найденную первообразную:
$ \int_{2}^{4} 10x \,dx = \left[ 5x^2 \right]_{2}^{4} = F(4) - F(2) $.
3. Вычислим значение выражения:
$ F(4) - F(2) = (5 \cdot 4^2) - (5 \cdot 2^2) = (5 \cdot 16) - (5 \cdot 4) = 80 - 20 = 60 $.
Таким образом, значение интеграла равно 60. Это соответствует варианту D.
Ответ: 60.

Для нахождения площади $S$ заштрихованной фигуры, необходимо проанализировать ее состав. Фигура ограничена снизу осью абсцисс ($Ox$), а сверху — ломаной линией, состоящей из двух участков. Вертикальная пунктирная линия, проходящая через точку $x=c$, делит всю фигуру на две более простые геометрические фигуры.

1.Первая фигура (на отрезке $[a, c]$): Эта часть ограничена сверху отрезком прямой. Следовательно, эта фигура является треугольником. В вариантах ответа площадь треугольника обозначена как $S_{\Delta}$.

2.Вторая фигура (на отрезке $[c, b]$): Эта часть ограничена сверху кривой линией. Фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, называется криволинейной трапецией. В вариантах ответа ее площадь обозначена как $S_{к.трап}$ (сокращение от "қисықсызықты трапеция" — криволинейная трапеция).

Поскольку общая заштрихованная фигура состоит из этих двух непересекающихся частей, ее общая площадь $S$ равна сумме их площадей. Это свойство аддитивности площади.

Таким образом, формула для вычисления общей площади будет: $S = (\text{площадь треугольника}) + (\text{площадь криволинейной трапеции})$

Используя данные обозначения: $S = S_{\Delta} + S_{к.трап}$

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту B.

Ответ: B. $S = S_{к.трап} + S_{\Delta}$

На изображении представлена задача на вычисление площади фигуры, ограниченной линиями. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = f(x)$ (при $f(x) \ge 0$), снизу — осью абсцисс ($y=0$), а по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае, фигура ограничена параболой $y = x^2 + 1$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=2$. Таким образом, у нас есть:

- Функция: $f(x) = x^2 + 1$

- Нижний предел интегрирования: $a = 1$

- Верхний предел интегрирования: $b = 2$

Подставим эти значения в формулу и вычислим интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (x^2 + 1) \,dx$

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + 1$. Первообразная для $x^2$ равна $\frac{x^3}{3}$, а для $1$ — $x$. Следовательно, первообразная для $x^2+1$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(b) - F(a)$.

$S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right)$

Выполним вычисления:

$S = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - 1 = \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) + (2 - 1) = \frac{7}{3} + 1 = \frac{7}{3} + \frac{3}{3} = \frac{10}{3}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$S = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$

Площадь заштрихованной фигуры равна $3 \frac{1}{3}$. Это соответствует варианту D.

Ответ: $3 \frac{1}{3}$.

10. Требуется вычислить значение выражения $ \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx $.

Для начала вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx $.

Первообразной для функции $ \cos x $ является функция $ \sin x $. По формуле Ньютона-Лейбница, определенный интеграл равен разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) $$

Найдем значения синусов для данных углов: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin(0) = 0 $$

Подставив эти значения, получим: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь умножим полученное значение интеграла на множитель $ \sqrt{2} $, стоящий перед ним: $$ \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

Таким образом, результат вычисления равен 1. Это соответствует варианту ответа C.

Ответ: 1.

Берілген теңдеуді шешу үшін, алдымен $\int_1^b 8dx$ анықталған интегралын есептеу керек.

Интегралдаудың негізгі ережелерін және Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, мұндағы $F(x)$ - $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы.

Біздің жағдайда, интеграл астындағы функция $f(x) = 8$ тұрақтысы. Оның алғашқы функциясы $F(x) = 8x$ болады.

Енді осы алғашқы функцияны Ньютон-Лейбниц формуласына қоямыз:
$\int_1^b 8dx = [8x]_1^b = 8 \cdot b - 8 \cdot 1 = 8b - 8$

Есептің шарты бойынша, бұл интегралдың мәні 8-ге тең:
$8b - 8 = 8$

Алынған сызықтық теңдеуді $b$-ға қатысты шешеміз:
$8b = 8 + 8$
$8b = 16$
$b = \frac{16}{8}$
$b = 2$

Сонымен, $b=2$ болғанда, берілген теңдік орындалады. Бұл жауап C нұсқасына сәйкес келеді.

Жауабы: C. 2;

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти точки пересечения кривых.

Для нахождения пределов интегрирования приравняем уравнения функций:
$x^2 - 4x + 5 = 5$
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале интегрирования.

Фигура ограничена по оси $x$ от 0 до 4. Чтобы определить, какая кривая находится выше, выберем любую точку из интервала $(0, 4)$, например, $x=2$:
Для параболы $y = x^2 - 4x + 5$: $y(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
Для прямой $y = 5$: $y(2) = 5$.
Так как $5 > 1$, на интервале $(0, 4)$ прямая $y=5$ расположена выше параболы $y = x^2 - 4x + 5$.

На графике искомая площадь закрашена.

3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $f_{верх}(x)$ и $f_{ниж}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) dx$
Подставим наши данные: $a=0$, $b=4$, $f_{верх}(x) = 5$ и $f_{ниж}(x) = x^2 - 4x + 5$.
$S = \int_{0}^{4} [5 - (x^2 - 4x + 5)] dx$
Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) dx = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
Найдем первообразную и вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
Подставим пределы интегрирования:
$S = (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - (2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3})$
$S = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0$
$S = 32 - \frac{64}{3}$
Приведем к общему знаменателю:
$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$S = 10 \frac{2}{3}$

Ответ: $10 \frac{2}{3}$