Страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Шешуі:

Есептің шарты бойынша, бізге қабырғасының ұзындығы $a$-ға тең, және осы қабырғаға іргелес бұрыштары $\alpha$ және $\beta$ болатын үшбұрыш берілген. Осы үшбұрышты ұзындығы $a$-ға тең қабырғасынан айналдырғанда пайда болатын дененің көлемін табу керек.

Үшбұрышты көрсетілген қабырғасынан айналдырғанда, пайда болған геометриялық дене ортақ табаны бар екі конустан тұрады. Айналу осі ($a$ қабырғасы) осы екі конустың биіктіктерінің қосындысына тең болады.

Төмендегі суретте үшбұрыш ABC көрсетілген, мұнда AB қабырғасының ұзындығы $a$ және ол айналу осі болып табылады. C төбесінен AB осіне CH биіктігі түсірілген. Бұл биіктік пайда болған екі конустың ортақ табанының радиусы $r$ болады.

Айналу денесінің жалпы көлемі $V$ екі конустың көлемдерінің қосындысына тең: $V = V_1 + V_2$.

Бірінші конустың (төбесі A) биіктігі $h_1 = AH$, ал екінші конустың (төбесі B) биіктігі $h_2 = HB$. Екі конустың да табандарының радиусы $r = CH$.

Конустың көлемінің формуласы: $V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Сонда жалпы көлем: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2)$.

$h_1 + h_2 = AH + HB = AB = a$ болғандықтан, көлем формуласы келесі түрге келеді: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 a$.

Енді $r$ радиусын берілген $a$, $\alpha$ және $\beta$ арқылы өрнектейік. ACH және BCH тікбұрышты үшбұрыштарын қарастырамыз:
$\triangle ACH$-дан: $\text{tg} \alpha = \frac{CH}{AH} = \frac{r}{h_1}$, бұдан $h_1 = \frac{r}{\text{tg} \alpha} = r \cdot \text{ctg} \alpha$.
$\triangle BCH$-дан: $\text{tg} \beta = \frac{CH}{HB} = \frac{r}{h_2}$, бұдан $h_2 = \frac{r}{\text{tg} \beta} = r \cdot \text{ctg} \beta$.

$a = h_1 + h_2$ теңдігін қолданып, $h_1$ және $h_2$ өрнектерін орнына қоямыз: $a = r \cdot \text{ctg} \alpha + r \cdot \text{ctg} \beta = r(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta)$.

Осыдан $r$ радиусын табамыз: $r = \frac{a}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}$.

Тригонометриялық тепе-теңдікті қолданып, котангенстердің қосындысын түрлендірейік: $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

Демек, радиус $r$ үшін соңғы өрнек: $r = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Табылған $r$ мәнін көлем формуласына ($V = \frac{1}{3} \pi r^2 a$) қоямыз: $V = \frac{1}{3} \pi a \left( \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \right)^2$.

Соңғы өрнекті ықшамдаймыз: $V = \frac{1}{3} \pi a \cdot \frac{a^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2(\alpha + \beta)} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$

Для нахождения объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс ($Ox$), используется формула дисков:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

где $y = f(x)$ — функция, задающая кривую, а $[a, b]$ — интервал интегрирования.

1. Анализ функции и определение пределов интегрирования

Фигура ограничена кривыми $y = ||x - 1| - 2|$, $y = 0$ (ось $Ox$) и $x = 0$ (ось $Oy$).

Сначала найдем точки пересечения графика функции $y = ||x - 1| - 2|$ с осью $Ox$, решив уравнение $y=0$:

$||x - 1| - 2| = 0$

$|x - 1| - 2 = 0$

$|x - 1| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x - 1 = 2 \implies x = 3$ и $x - 1 = -2 \implies x = -1$.

Поскольку область ограничена также прямой $x=0$, мы рассматриваем часть фигуры на интервале от $x=0$ до $x=3$. Таким образом, пределы интегрирования: $a=0$ и $b=3$.

Теперь раскроем модули в функции на интервале $[0, 3]$. Точка "излома" внутреннего модуля — $x=1$, поэтому рассмотрим два подинтервала.

При $0 \le x < 1$ имеем $x-1 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = |(1-x) - 2| = |-x-1| = |x+1|$. На этом интервале $x+1 > 0$, следовательно, $y = x+1$.

При $1 \le x \le 3$ имеем $x-1 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = |(x-1) - 2| = |x-3|$. На этом интервале $x-3 \le 0$, следовательно, $y = -(x-3) = 3-x$.

Таким образом, на интервале интегрирования $[0, 3]$ функция является кусочно-линейной:

$y(x) = \begin{cases} x+1, & \text{при } 0 \le x < 1 \\ 3-x, & \text{при } 1 \le x \le 3 \end{cases}$

2. Графическое представление области

Область, вращаемая вокруг оси $Ox$, ограничена осями координат и графиком функции, состоящим из двух отрезков прямых: от точки $(0,1)$ до $(1,2)$ и от $(1,2)$ до $(3,0)$. На графике искомая область закрашена.

3. Вычисление объема

Интеграл для вычисления объема необходимо разбить на две части в соответствии с кусочным заданием функции:

$V = \pi \int_0^3 [y(x)]^2 dx = \pi \left( \int_0^1 (x+1)^2 dx + \int_1^3 (3-x)^2 dx \right)$

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Первый интеграл:

$\int_0^1 (x+1)^2 dx = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{7}{3}$

Второй интеграл (для удобства сделаем замену $u = 3-x$, $du = -dx$):

$\int_1^3 (3-x)^2 dx = \int_{u(1)}^{u(3)} u^2 (-du) = \int_2^0 -u^2 du = \int_0^2 u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Теперь найдем общий объем, сложив объемы, полученные на каждом участке:

$V = \pi \left( \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right) = \pi \left( \frac{15}{3} \right) = 5\pi$

Ответ: $5\pi$

Для нахождения площади искомой фигуры необходимо выполнить следующие шаги: найти точки касания, составить уравнения касательных, а затем вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение точек касания и уравнений касательных

Дана функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Это парабола, симметричная относительно оси $Oy$. Найдем производную функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной в произвольной точке $x$: $y' = f'(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right)' = -x$.

Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Их угловые коэффициенты равны $k_1 = f'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = f'(x_2) = -x_2$.

По условию, касательные взаимно перпендикулярны, это означает, что произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1 \Rightarrow (-x_1) \cdot (-x_2) = -1 \Rightarrow x_1x_2 = -1$.

Также по условию, касательные пересекаются в точке на оси $Oy$. В силу симметрии параболы относительно оси $Oy$, точки касания также должны быть симметричны, то есть $x_2 = -x_1$.

Подставим это соотношение в предыдущее уравнение: $x_1(-x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$. Отсюда получаем абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем координаты точек касания:

• При $x_1 = 1$: $y_1 = -\frac{1}{2}(1)^2 + 3 = 2.5$. Точка касания $T_1(1; 2.5)$.
• При $x_2 = -1$: $y_2 = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 3 = 2.5$. Точка касания $T_2(-1; 2.5)$.

Теперь составим уравнения касательных, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

• Касательная в точке $T_1(1; 2.5)$ с угловым коэффициентом $k_1 = -1$:
  $y - 2.5 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x + 1 + 2.5 \Rightarrow y = -x + 3.5$.
• Касательная в точке $T_2(-1; 2.5)$ с угловым коэффициентом $k_2 = 1$:
  $y - 2.5 = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x + 1 + 2.5 \Rightarrow y = x + 3.5$.

Точка пересечения касательных находится решением системы: $y = -x + 3.5$ и $y = x + 3.5$. Приравнивая правые части, получаем $-x + 3.5 = x + 3.5 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$. Тогда $y=3.5$. Точка пересечения $P(0; 3.5)$ лежит на оси $Oy$, что соответствует условию задачи.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху двумя касательными, а снизу — параболой. Наглядно это представлено на рисунке:

Площадь $S$ можно вычислить как интеграл от разности верхней и нижней функций. В силу симметрии фигуры относительно оси $Oy$, мы можем вычислить площадь для $x$ от 0 до 1 и умножить результат на 2.

На интервале $[0, 1]$ верхняя граница — касательная $y = -x + 3.5$, а нижняя — парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. $S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{верх} - y_{низ} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) \right) dx$.

Упростим подынтегральное выражение: $(-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) = -x + 3.5 + \frac{1}{2}x^2 - 3 = \frac{1}{2}x^2 - x + 0.5$.

Теперь вычисляем интеграл: $S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{0}^{1}$.

Подставляем пределы интегрирования: $S = 2 \left( \left( \frac{1^3}{6} - \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{6} - \frac{0^2}{2} + \frac{0}{2} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.

Бұл есепті шешу үшін келесі қадамдарды орындаймыз: біріншіден, параболаның абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табамыз; екіншіден, сол нүктелерде жүргізілген жанамалардың теңдеулерін анықтаймыз; үшіншіден, пайда болған фигураның ауданын интеграл арқылы есептейміз.

1. Функция графигінің абсцисса осімен (Ox осімен) қиылысу нүктелерін табу

Графиктің Ox осімен қиылысу нүктелерінде $y=0$ болады. Сондықтан функцияның теңдеуін нөлге теңестіреміз:

$-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0$

Бұл теңдеуді $x$-ке қатысты шешеміз:

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$ және $x_2 = 2$.

Осылайша, қиылысу нүктелері $(-2, 0)$ және $(2, 0)$ болып табылады.

2. Қиылысу нүктелеріндегі жанамалардың теңдеулерін құру

$x_0$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуі $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ формуласымен анықталады. Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 1$

$f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot (2x) = -\frac{1}{2}x$

Енді әрбір нүкте үшін жанаманың теңдеуін табамыз:

а) $x_0 = -2$ нүктесі үшін:

$f(-2) = 0$

$f'(-2) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$

Жанаманың теңдеуі: $y - 0 = 1 \cdot (x - (-2)) \implies y = x + 2$.

ә) $x_0 = 2$ нүктесі үшін:

$f(2) = 0$

$f'(2) = -\frac{1}{2}(2) = -1$

Жанаманың теңдеуі: $y - 0 = -1 \cdot (x - 2) \implies y = -x + 2$.

3. Шектелген фигураның ауданын есептеу

Ізделінді фигура жоғарыдан $y = x+2$ және $y = -x+2$ жанамаларымен, ал төменнен $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ параболасымен шектелген. Бұл фигураның ауданын анықталған интеграл арқылы есептейміз.

Фигураның графикалық көрінісі:

Ауданды табу үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны алып, $[-2, 2]$ аралығында интегралдаймыз. Фигура $y$ осіне қатысты симметриялы болғандықтан, есептеуді жеңілдету үшін $[0, 2]$ аралығындағы ауданды тауып, оны екіге көбейтуге болады. $[0, 2]$ аралығында жоғарғы шекара $y = -x+2$ жанамасы болады.

$S = \int_{-2}^{0} \left( (x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx + \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx$

Симметрияны ескерсек:

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) \right) dx = 2 \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 \right) dx$

Интегралды есептейміз:

$S = 2 \left[ \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2}$

$S = 2 \left( \left( \frac{2^3}{12} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0) \right)$

$S = 2 \left( \frac{8}{12} - \frac{4}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{2}{3} - 2 + 2 \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Сонымен, ізделінді фигураның ауданы $\frac{4}{3}$ квадрат бірлікке тең.

Ответ: $\frac{4}{3}$

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^2 + 4x$ и касательными к этому графику в точках его пересечения с осью абсцисс.

1. Нахождение точек пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$)

Для нахождения этих точек необходимо приравнять значение функции к нулю, так как на оси $Ox$ координата $y$ всегда равна нулю.

$-x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это абсциссы точек пересечения. Таким образом, касательные нужно провести в точках с координатами $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

2. Нахождение уравнений касательных

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = -x^2 + 4x$:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Теперь составим уравнения для каждой из двух касательных.

Касательная в точке $(0, 0)$ (где $x_0 = 0$):

Значение функции в этой точке: $f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент касательной): $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

Подставляем найденные значения в формулу касательной:

$y = 0 + 4(x - 0) \implies y = 4x$.

Касательная в точке $(4, 0)$ (где $x_0 = 4$):

Значение функции в этой точке: $f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент касательной): $f'(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу:

$y = 0 + (-4)(x - 4) \implies y = -4x + 16$.

3. Нахождение точки пересечения касательных

Чтобы найти общую точку касательных $y = 4x$ и $y = -4x + 16$, приравняем их правые части:

$4x = -4x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Для нахождения координаты $y$ подставим $x=2$ в уравнение любой из касательных:

$y = 4(2) = 8$.

Следовательно, касательные пересекаются в точке $(2, 8)$.

4. Вычисление площади фигуры

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = -x^2 + 4x$, а сверху — двумя отрезками касательных: $y = 4x$ на интервале $[0, 2]$ и $y = -4x + 16$ на интервале $[2, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла. Она равна площади под "верхней" границей (касательными) минус площадь под "нижней" границей (парабола) в пределах от $x=0$ до $x=4$. Поскольку верхняя граница описывается разными функциями на двух участках, интеграл необходимо разбить на две части:

$S = \int_{0}^{2} (\text{касательная } y=4x - \text{парабола}) \,dx + \int_{2}^{4} (\text{касательная } y=-4x+16 - \text{парабола}) \,dx$

$S = \int_{0}^{2} (4x - (-x^2 + 4x)) \,dx + \int_{2}^{4} ((-4x + 16) - (-x^2 + 4x)) \,dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{0}^{2} (4x + x^2 - 4x) \,dx + \int_{2}^{4} (-4x + 16 + x^2 - 4x) \,dx$

$S = \int_{0}^{2} x^2 \,dx + \int_{2}^{4} (x^2 - 8x + 16) \,dx$

Выражение во втором интеграле является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.

$S = \int_{0}^{2} x^2 \,dx + \int_{2}^{4} (x-4)^2 \,dx$

Вычисляем каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

$\int_{2}^{4} (x-4)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{(4-4)^3}{3} - \frac{(2-4)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$

Суммарная площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$

Сначала упростим заданную функцию, вычислив определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

$y = \int_x^{x+1} 3t^2 dt = [t^3]_x^{x+1} = (x+1)^3 - x^3$

Раскроем скобки в выражении $(x+1)^3$:

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Подставим это обратно в выражение для $y$:

$y = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2 + 3x + 1$ и прямой $y = 1$.

Найдем точки пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем их уравнения:

$3x^2 + 3x + 1 = 1$

$3x^2 + 3x = 0$

$3x(x + 1) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Это будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций. Определим, какая функция является верхней на промежутке $[-1, 0]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -0.5$:

$y_{параболы} = 3(-0.5)^2 + 3(-0.5) + 1 = 3(0.25) - 1.5 + 1 = 0.75 - 1.5 + 1 = 0.25$

Значение на прямой $y_{прямой} = 1$. Так как $0.25 < 1$, на интервале $[-1, 0]$ прямая $y = 1$ находится выше параболы $y = 3x^2 + 3x + 1$.

Составим интеграл для вычисления площади $S$:

$S = \int_{-1}^{0} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx = \int_{-1}^{0} (1 - (3x^2 + 3x + 1)) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2 - 3x - 1) dx = \int_{-1}^{0} (-3x^2 - 3x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[-3\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = \left[-x^3 - \frac{3}{2}x^2\right]_{-1}^{0}$

$S = \left(-0^3 - \frac{3}{2}(0)^2\right) - \left(-(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2\right)$

$S = (0) - \left(-(-1) - \frac{3}{2}(1)\right)$

$S = 0 - \left(1 - \frac{3}{2}\right)$

$S = -\left(\frac{2}{2} - \frac{3}{2}\right)$

$S = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Сначала определим вид и найдем площадь четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0).

Заметим, что у точек B и C одинаковая координата y=4, а у точек A и D одинаковая координата y=0. Это означает, что стороны BC и AD параллельны оси абсцисс (Ox), а следовательно, параллельны друг другу. Таким образом, четырехугольник ABCD является трапецией.

Найдем длины оснований и высоту трапеции:

• Длина нижнего основания AD: $d_{AD} = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2} = 8$.
• Длина верхнего основания BC: $d_{BC} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
• Высота трапеции h — это расстояние между параллельными прямыми y=0 и y=4, то есть $h = 4$.

Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ (кв. ед.).

Теперь рассмотрим, как парабола $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ делит эту трапецию. Парабола симметрична относительно оси Oy, как и трапеция. Найдем точки пересечения параболы со сторонами трапеции.

С верхним основанием BC (линия y=4): $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 4$ $\frac{1}{2}x^2 = 2$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$ Точки пересечения (-2; 4) и (2; 4) — это в точности вершины B и C трапеции.

С нижним основанием AD (линия y=0): $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$ $x^2 = -4$ Действительных корней нет, парабола не пересекает нижнее основание, так как ее вершина находится в точке (0; 2).

Таким образом, парабола делит трапецию на две фигуры.

$S_1$: площадь фигуры, ограниченной сверху отрезком BC (прямая $y=4$) и снизу дугой параболы $y=\frac{1}{2}x^2 + 2$ от $x=-2$ до $x=2$.

$S_2$: площадь оставшейся части трапеции.

Вычислим площадь $S_1$ с помощью определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от разности верхней и нижней функций: $S_1 = \int_{-2}^{2} \left(4 - \left(\frac{1}{2}x^2 + 2\right)\right) dx = \int_{-2}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx$

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ является четной (т.е. $f(-x) = f(x)$), интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен удвоенному интегралу по промежутку $[0, a]$: $S_1 = 2 \int_{0}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx = 2 \left[ 2x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}$

Подставим пределы интегрирования: $S_1 = 2 \left( \left(2 \cdot 2 - \frac{2^3}{6}\right) - \left(2 \cdot 0 - \frac{0^3}{6}\right) \right) = 2 \left( 4 - \frac{8}{6} \right) = 2 \left( 4 - \frac{4}{3} \right) = 2 \left( \frac{12-4}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь найдем площадь второй фигуры $S_2$: $S_2 = S_{ABCD} - S_1 = 24 - \frac{16}{3} = \frac{72}{3} - \frac{16}{3} = \frac{56}{3}$.

Наконец, найдем отношение площадей $S_1$ и $S_2$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{16/3}{56/3} = \frac{16}{56}$.

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 8: $\frac{16 \div 8}{56 \div 8} = \frac{2}{7}$.

Таким образом, парабола делит площадь трапеции в отношении 2:7.

Ответ: Парабола делит площадь четырехугольника в отношении 2:7.

1)

Для решения задачи необходимо рассчитать силу гидростатического давления воды на вертикальную прямоугольную стенку шлюза. Давление воды линейно возрастает с глубиной по закону $P = \rho g y$, где $\rho$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения, а $y$ – глубина, отсчитываемая от поверхности.

Сила давления на всю поверхность шлюза находится путем интегрирования давления по площади. Для прямоугольной стенки шириной $L$ и высотой $H$ (полностью погруженной в воду) сила давления $F$ вычисляется по формуле:

$F = \int_{0}^{H} P(y) \cdot dA = \int_{0}^{H} (\rho g y) \cdot (L dy)$

Вынося константы за знак интеграла, получаем:

$F = \rho g L \int_{0}^{H} y dy = \rho g L \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{H} = \rho g L \frac{H^2}{2}$

Этот же результат можно получить, умножив площадь стенки $A = L \cdot H$ на давление в ее центре тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на половине его высоты, то есть на глубине $y_c = H/2$. Давление на этой глубине составляет $P_c = \rho g (H/2)$. Тогда сила равна:

$F = P_c \cdot A = \left(\rho g \frac{H}{2}\right) \cdot (L H) = \frac{\rho g L H^2}{2}$

Подставим известные значения:

• ширина шлюза $L = 18$ м;
• высота шлюза $H = 6$ м;
• плотность воды $\rho \approx 1000$ кг/м³;
• ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Выполним расчет:

$F = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 18 \text{ м} \cdot \frac{(6 \text{ м})^2}{2} = 9800 \cdot 18 \cdot \frac{36}{2} = 9800 \cdot 18 \cdot 18 = 9800 \cdot 324 = 3175200 \text{ Н}$

Результат можно выразить в меганьютонах (МН):

$F = 3.1752 \text{ МН}$

Ответ: Сила давления воды на шлюз составляет $3175200 \text{ Н}$ или примерно $3.18 \text{ МН}$.

2)

В этой задаче требуется найти формулу для силы давления воды на вертикальную стенку (бөгет), имеющую форму равнобокой трапеции. Основания трапеции равны $a$ (верхнее) и $b$ (нижнее), а высота равна $h$.

Как и в предыдущей задаче, сила давления находится интегрированием давления по площади. Введем систему координат: начало в центре верхнего основания на поверхности воды, ось $y$ направлена вертикально вниз. Глубина $y$ изменяется от $0$ до $h$.

Ширина трапеции $L$ на глубине $y$ изменяется линейно. При $y=0$ ширина равна $a$, а при $y=h$ ширина равна $b$. Функция ширины от глубины имеет вид:

$L(y) = a + \frac{b-a}{h}y$

Рассмотрим на стенке бесконечно тонкую горизонтальную полоску на глубине $y$ с высотой $dy$. Ее площадь $dA = L(y) dy$. Давление на этой глубине $P(y) = \rho g y$. Сила, действующая на эту полоску, равна $dF = P(y) dA$.

$dF = \rho g y \cdot \left( a + \frac{b-a}{h}y \right) dy$

Полная сила $F$ на всю стенку находится интегрированием этого выражения по глубине от $0$ до $h$:

$F = \int_{0}^{h} \rho g y \left( a + \frac{b-a}{h}y \right) dy = \rho g \int_{0}^{h} \left( ay + \frac{b-a}{h}y^2 \right) dy$

Вычислим интеграл:

$F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} = \rho g \left( a\frac{h^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{h^3}{3} \right)$

Упростим полученное выражение:

$F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} + \frac{(b-a)h^2}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} + \frac{b-a}{3} \right)$

Приводя слагаемые в скобках к общему знаменателю 6, получаем:

$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2(b-a)}{6} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2b - 2a}{6} \right) = \rho g h^2 \frac{a+2b}{6}$

Это и есть искомая формула для силы давления.

Ответ: Сила, с которой вода давит на бөгет, определяется формулой $F = \frac{\rho g h^2 (a+2b)}{6}$, где $\rho$ – плотность воды, а $g$ – ускорение свободного падения.

Уравнение движения материальной точки $s(t)$ является первообразной для функции её скорости $v(t)$. Чтобы найти $s(t)$, необходимо проинтегрировать функцию скорости по времени $t$.

$s(t) = \int v(t) dt$

По условию задачи, функция скорости имеет вид:

$v(t) = \sin t \cos t$

Для нахождения интеграла воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2t) = 2 \sin t \cos t$. Отсюда следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.

Теперь можем найти интеграл:

$s(t) = \int \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} \int \sin(2t) dt$

Интеграл от $\sin(2t)$ равен $-\frac{\cos(2t)}{2}$. Таким образом, получаем общее уравнение движения:

$s(t) = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(2t)}{2} \right) + C = -\frac{1}{4} \cos(2t) + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для её определения используем дополнительное условие из задачи: в момент времени $t = \frac{\pi}{4}$ точка прошла путь 3 м. Это означает, что её координата в этот момент времени равна 3, то есть $s(\frac{\pi}{4}) = 3$.

Подставим эти значения в полученное общее уравнение движения:

$3 = -\frac{1}{4} \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C$

$3 = -\frac{1}{4} \cos(\frac{\pi}{2}) + C$

Поскольку значение $\cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0, уравнение упрощается:

$3 = -\frac{1}{4} \cdot 0 + C$

$C = 3$

Теперь, подставив найденное значение константы $C = 3$ в общее уравнение движения, мы получаем искомое уравнение движения точки:

$s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$

Ответ: $s(t) = -\frac{1}{4}\cos(2t) + 3$

1. Нахождение первообразной функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$.

Первым шагом найдем общее выражение для первообразной функции $f(x) = 2x + 4$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которую нам необходимо найти.

По условию, график первообразной $y = F(x)$ касается прямой $y = 6x + 3$. В точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:
1. Значения функций равны: $F(x_0) = y_0$.
2. Значения производных равны (угловые коэффициенты касательных совпадают): $F'(x_0) = k$, где $k$ — угловой коэффициент прямой $y = 6x + 3$.

Производная первообразной $F(x)$ есть исходная функция $f(x)$: $F'(x) = (x^2 + 4x + C)' = 2x + 4 = f(x)$.

Угловой коэффициент касательной к прямой $y = 6x + 3$ равен 6. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$F'(x_0) = 2x_0 + 4 = 6$
$2x_0 = 6 - 4$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение прямой:

$y_0 = 6(1) + 3 = 9$

Таким образом, точка касания — $(1, 9)$. Эта точка принадлежит и графику первообразной $y = F(x)$. Подставим координаты этой точки в уравнение первообразной, чтобы найти $C$:

$F(1) = 1^2 + 4(1) + C = 9$
$1 + 4 + C = 9$
$5 + C = 9$
$C = 4$

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = x^2 + 4x + 4$, что можно также записать как $F(x) = (x+2)^2$.

Ответ: Искомая первообразная: $F(x) = x^2 + 4x + 4$.

2. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной $y = x^2 + 4x + 4$ и прямыми $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

Фигура ограничена тремя линиями:
1. Парабола: $y = (x+2)^2$
2. Прямая: $y = 6x + 3$
3. Ось абсцисс: $y = 0$

Найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы фигуры:
• Пересечение параболы с осью $y=0$: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
• Пересечение прямой $y=6x+3$ с осью $y=0$: $6x+3 = 0 \implies x = -1/2$. Точка $(-0.5, 0)$.
• Пересечение параболы и прямой $y=6x+3$: это точка их касания, которую мы уже нашли — $(1, 9)$.

Фигура представляет собой криволинейный треугольник с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(-0.5, 0)$ и $(1, 9)$.

Площадь $S$ этой фигуры можно найти как разность площади под параболой $y=(x+2)^2$ на отрезке $[-2, 1]$ и площади под прямой $y=6x+3$ на отрезке $[-0.5, 1]$.

$S = \int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-0.5}^{1} (6x+3) dx$

Вычислим первый интеграл (площадь под параболой):

$\int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$
$= \left( \frac{1^3}{3} + 2(1)^2 + 4(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) \right)$
$= \left( \frac{1}{3} + 2 + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 8 \right) = \frac{19}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{19+8}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Вычислим второй интеграл (площадь под прямой, которая является площадью прямоугольного треугольника):

$\int_{-0.5}^{1} (6x+3) dx = \left[ 3x^2 + 3x \right]_{-0.5}^{1}$
$= (3(1)^2 + 3(1)) - (3(-0.5)^2 + 3(-0.5)) = (3+3) - (3(0.25) - 1.5) = 6 - (0.75 - 1.5) = 6 - (-0.75) = 6.75 = \frac{27}{4}$

Теперь найдем искомую площадь $S$:

$S = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36}{4} - \frac{27}{4} = \frac{9}{4}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{9}{4}$ квадратных единиц.