Номер 67, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади искомой фигуры необходимо выполнить следующие шаги: найти точки касания, составить уравнения касательных, а затем вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение точек касания и уравнений касательных

Дана функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Это парабола, симметричная относительно оси $Oy$. Найдем производную функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной в произвольной точке $x$: $y' = f'(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right)' = -x$.

Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Их угловые коэффициенты равны $k_1 = f'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = f'(x_2) = -x_2$.

По условию, касательные взаимно перпендикулярны, это означает, что произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1 \Rightarrow (-x_1) \cdot (-x_2) = -1 \Rightarrow x_1x_2 = -1$.

Также по условию, касательные пересекаются в точке на оси $Oy$. В силу симметрии параболы относительно оси $Oy$, точки касания также должны быть симметричны, то есть $x_2 = -x_1$.

Подставим это соотношение в предыдущее уравнение: $x_1(-x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$. Отсюда получаем абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем координаты точек касания:

• При $x_1 = 1$: $y_1 = -\frac{1}{2}(1)^2 + 3 = 2.5$. Точка касания $T_1(1; 2.5)$.
• При $x_2 = -1$: $y_2 = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 3 = 2.5$. Точка касания $T_2(-1; 2.5)$.

Теперь составим уравнения касательных, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

• Касательная в точке $T_1(1; 2.5)$ с угловым коэффициентом $k_1 = -1$:
  $y - 2.5 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x + 1 + 2.5 \Rightarrow y = -x + 3.5$.
• Касательная в точке $T_2(-1; 2.5)$ с угловым коэффициентом $k_2 = 1$:
  $y - 2.5 = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x + 1 + 2.5 \Rightarrow y = x + 3.5$.

Точка пересечения касательных находится решением системы: $y = -x + 3.5$ и $y = x + 3.5$. Приравнивая правые части, получаем $-x + 3.5 = x + 3.5 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$. Тогда $y=3.5$. Точка пересечения $P(0; 3.5)$ лежит на оси $Oy$, что соответствует условию задачи.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху двумя касательными, а снизу — параболой. Наглядно это представлено на рисунке:

Площадь $S$ можно вычислить как интеграл от разности верхней и нижней функций. В силу симметрии фигуры относительно оси $Oy$, мы можем вычислить площадь для $x$ от 0 до 1 и умножить результат на 2.

На интервале $[0, 1]$ верхняя граница — касательная $y = -x + 3.5$, а нижняя — парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. $S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{верх} - y_{низ} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) \right) dx$.

Упростим подынтегральное выражение: $(-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) = -x + 3.5 + \frac{1}{2}x^2 - 3 = \frac{1}{2}x^2 - x + 0.5$.

Теперь вычисляем интеграл: $S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{0}^{1}$.

Подставляем пределы интегрирования: $S = 2 \left( \left( \frac{1^3}{6} - \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{6} - \frac{0^2}{2} + \frac{0}{2} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.